《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

4. (全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的$E$处出发,先到$F$处与小红会合,再一起到位于$G$处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)


A.24
B.18
C.12
D.9

答案： 4.B 解析：分两步，第一步，从E到F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F到G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18(条)可以选择的最短路径.故选B.

5. (2025·河南郑州模拟)同时满足:①偶数;②没有重复数字的三位数;③个位数不为 0,这三个条件的数有(D)

A.64 个
B.128 个
C.196 个
D.256 个

答案： 5.D 解析：分三步：
(1)个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2,4,6,8中的一个，共有4种选择.
(2)百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此有8种选择(1~9中排除个位数).
(3)十位数的选择：十位可以是0~9中排除百位和个位已经使用的数字，有8种选择.
根据分步乘法计数原理，同时满足题设三个条件的数有4×8×8=256(个).

6. 从集合$\{ 1,2,3,4,5\}$中任取 2 个不同的数,作为直线$Ax + By = 0$中$A,B$的值,则所得不同直线有18条.

答案： 6.18 解析：第1步，取A的值，有5种取法；第2步，取B的值，有4种取法，其中A=1,B=2与A=2,B=4时，及A=2,B=1与A=4,B=2时，Ax+By=0为同一直线，故共有5×4-2=18(条)不同直线.

7. (2025·广东韶关模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有(D)

A.90 种
B.80 种
C.60 种
D.50 种

答案： 7.D 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10=20(种)不同的选法；
②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有3×10=30(种)不同的选法.
由分类加法计数原理得共有20+30=50(种)选法.

8. 某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语.从中选出会英语和会日语的各 1 人,有多少种不同的选法?

答案： 8.解：依题意，既会英语又会日语的有1人，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选会英语的1人，有6种选法.此时选会日语的1人有3种选法，由分步乘法计数原理可得N₁=6×3=18(种).第二类：把既会英语又会日语的1人选出且当作会英语的人，有1种方法，此时选会日语的1人有2种选法，由分步乘法计数原理得N₂=1×2=2(种).
综上，由分类加法计数原理，可知不同选法有N=N₁+N₂=18+2=20(种).