《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·江苏南京摸底考试)求$(1 + 2x - 3x^2)^5$的展开式中$x^5$的系数。

答案： 1.解：方法一：$(1 + 2x - 3x^{2})^{5}=[(1 + 2x) - 3x^{2}]^{5}=C_{5}^{0}(1 + 2x)^{5}+C_{5}^{1}(1 + 2x)^{4}·(-3x^{2})+C_{5}^{2}(1 + 2x)^{3}(-3x^{2})^{2}+·s +C_{5}^{5}(-3x^{2})^{5}$，
所以$x^{5}$的系数为$C_{5}^{2}C_{3}^{2}×2^{3}+C_{5}^{1}C_{4}^{1}×2×(-3)+C_{3}^{0}×2×(-3)^{2}=92$。
方法二：$(1 + 2x - 3x^{2})^{5}=[1+(2x - 3x^{2})]^{5}$，
$T_{r + 1}=C_{5}^{r}(2x - 3x^{2})^{r},r = 0,1,2,3,4,5$，则$x^{5}$由$(2x - 3x^{2})^{r}$确定。
当$r = 0$时，不符合题意；当$r\neq0$时，$(2x - 3x^{2})^{r}$的展开式的通项$T_{k + 1}=C_{r}^{k}(2x)^{r - k}·(-3x^{2})^{k}=C_{r}^{k}2^{r - k}(-3)^{k}x^{r + k},k = 0,1,·s,r$。
由$r + k = 5$，得$\begin{cases}r = 5,k = 0\\r = 4,k = 1\\r = 3,k = 2\end{cases}$
所以$x^{5}$的系数为$C_{5}^{5}×2^{5}×(-3)^{0}+C_{4}^{1}×2^{3}×(-3)+C_{3}^{2}×2×(-3)^{2}=92$。
方法三：$(1 + 2x - 3x^{2})^{5}=(1 - x)^{5}(1 + 3x)^{5}=(1 - 5x + 10x^{2}-10x^{3}+5x^{4}-x^{5})·(1 + 15x + 90x^{2}+270x^{3}+405x^{4}+243x^{5})$，
相乘合并同类项得$x^{5}$的系数为 92。
方法四：将$(1 + 2x - 3x^{2})^{5}$看作 5 个因式$(1 + 2x - 3x^{2})$的乘积，这 5 个因式乘积的展开式中形成$x^{5}$的来源如下：
①5 个因式中，全取$2x$，这样的方式有$C_{5}^{5}$种，对应的项为$C_{5}^{5}·(2x)^{5}$；
②5 个因式中，3 个取$2x$，1 个取$-3x^{2}$，1 个取 1，这样的方式有$C_{5}^{3}C_{2}^{1}C_{1}^{1}$种，对应的项为$C_{5}^{3}(2x)^{3}· C_{2}^{1}·(-3x^{2})$；
③5 个因式中，1 个取$2x$，2 个取$-3x^{2}$，2 个取 1，这样的方式有$C_{5}^{1}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种，对应的项为$C_{5}^{1}·2x· C_{4}^{2}·(-3x^{2})^{2}$。
所以$x^{5}$的系数为$C_{5}^{5}×2^{5}+C_{5}^{3}×2^{3}× C_{2}^{1}×(-3)+C_{5}^{1}×2× C_{4}^{2}×(-3)^{2}=92$。

2. (2025·浙江金华模拟)已知$(ax - \frac{1}{x})^5$的展开式中各项系数的和为$32$,则该二项展开式中系数最大的项为(B)

A.$270x^{-1}$
B.$270x$
C.$405x^3$
D.$243x^5$

答案： 2.B 解析：令$x = 1$，得$(a - 1)^{5}=32$，解得$a = 3$。因为$\left(3x-\frac{1}{x}\right)^{5}$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}·(3x)^{5 - k}·\left(-\frac{1}{x}\right)^{k}=(-1)^{k}·3^{5 - k}· C_{5}^{k}· x^{5 - 2k}$。当$k = 0$时，系数为$3^{5}=243$；当$k = 2$时，系数为$3^{3}· C_{5}^{2}=270$；当$k = 4$时，系数为$3· C_{5}^{4}=15$。所以该二项展开式中第 3 项的系数最大，且该二项展开式中系数最大的项为$270x$。

3. 已知$(1 + 2x)^n$的展开式中第$6$项与第$7$项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。

答案： 3.解：依通项公式知$T_{6}=C_{n}^{5}(2x)^{5}=C_{n}^{5}2^{5}x^{5},T_{7}=C_{n}^{6}2^{6}x^{6}$。因为两项的系数相等，所以$C_{n}^{5}2^{5}=C_{n}^{6}2^{6}$，解得$n = 8$。因为$(1 + 2x)^{8}$的展开式共 9 项，所以二项式系数最大的项为中间那一项，即$T_{5}=C_{8}^{4}·(2x)^{4}=1120x^{4}$。
设第$k + 1$项系数最大，则有$\begin{cases}C_{8}^{k}·2^{k}\geq C_{8}^{k - 1}·2^{k - 1}\\C_{8}^{k}·2^{k}\geq C_{8}^{k + 1}·2^{k + 1}\end{cases}$
解得$5\leq k\leq6$。
所以$k = 5$或$k = 6$。
即$T_{6}=C_{8}^{5}(2x)^{5}=1792x^{5},T_{7}=C_{8}^{6}(2x)^{6}=1792x^{6}$为系数最大的项。

1. (2025·浙江杭州模拟)函数 $ f(x)=x^{4}-C_{4}^{1}x^{3}+C_{4}^{2}x^{2}-C_{4}^{3}x+1 $ 的对称轴为(A)

A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = -2 $

答案： 1.A 解析：由题意知$f(x)=C_{4}^{0}x^{4}· (-1)^{0}+C_{4}^{1}x^{3}· (-1)^{1}+C_{4}^{2}x^{2}· (-1)^{2}+C_{4}^{3}x· (-1)^{3}+C_{4}^{4}x^{0}· (-1)^{4}=(x - 1)^{4}$，
可由偶函数$y = x^{4}$的图象向右平移$1$个单位得到，所以函数$f(x)$的对称轴$x = 1$。

2. (2025·福建宁德模拟)若 $ (x - 4)^{5}=a_{0}+a_{1}(x - 3)+a_{2}(x - 3)^{2}+a_{3}(x - 3)^{3}+a_{4}(x - 3)^{4}+a_{5}(x - 3)^{5} $，则 $ a_{3}= $(A)

A.10
B.-10
C.5
D.-5

答案： 2.A 解析：由题意，$(x - 4)^{5}=[(x - 3)-1]^{5}=a_{0}+a_{1}(x - 3)+a_{2}(x - 3)^{2}+a_{3}(x - 3)^{3}+a_{4}(x - 3)^{4}+a_{5}(x - 3)^{5}$，
则$a_{3}=C_{5}^{2}(-1)^{2}=10$。

3. 化简：$ (x - 1)^{5}+5(x - 1)^{4}+10(x - 1)^{3}+10(x - 1)^{2}+5(x - 1) $。
联想二项式定理：
① 1，5，10 分别为 $ C_{5}^{0} $，$ C_{5}^{1} $，$ C_{5}^{2} $
② $ a = x - 1 $，$ b = 1 $，$ n = 5 $；
③ 注意没有最后一项。

答案： 3.解：原式$=C_{5}^{0}(x - 1)^{5}+C_{5}^{1}(x - 1)^{4}+C_{5}^{2}(x - 1)^{3}+C_{5}^{3}(x - 1)^{2}+C_{5}^{4}(x - 1)^{1}+C_{5}^{5}(x - 1)^{0}-1=[(x - 1)+1]^{5}-1=x^{5}-1$。