《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·辽宁锦州模拟)设某项试验的成功率是失败率的4倍,用随机变量Y描述一次试验的失败次数,则$D(Y) =$ (C)

A.$\frac{2}{25}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 1.C 解析：由题知Y服从两点分布，且$P(Y=0)=\frac{4}{5}$，$P(Y=1)=\frac{1}{5}$，所以$D(Y)=\frac{1}{5} × \frac{4}{5}=\frac{4}{25}$.

2. (2025·河南安阳模拟)已知随机变量X满足$E(3X + 1) = 10, D(\sqrt{2}X + \sqrt{2}) = 2$,则 (C)

A.$E(X) = 31, D(X) = 4$
B.$E(X) = 3, D(X) = \sqrt{2}$
C.$E(X) = 3, D(X) = 1$
D.$E(X) = 31, D(X) = 1$

答案： 2.C 解析：由$E(3X + 1)=10$，得$3E(X)+1=10$，则$E(X)=3$；由$D(\sqrt{2}X+\sqrt{2})=2$，得$2D(X)=2$，因此$D(X)=1$.

3. (2025·河北衡水模拟)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具
有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为 (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2

答案： 3.B 解析：记抽到自己准备的书的学生数为$X$，
则$X$的所有可能取值为$0,1,2,4$，
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{1} × 3}{A_{4}^{4}}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$，
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1} × 2}{A_{4}^{4}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，
$P(X=2)=\frac{C_{2}^{2} × 1}{A_{4}^{4}}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$，
$P(X=4)=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$，
则$E(X)=0 × \frac{3}{8}+1 × \frac{1}{3}+2 × \frac{1}{4}+4 × \frac{1}{24}=1$.

4. (2025·山东济南模拟)已知随机变量ξ的概率分布列如下表,则$E(ξ) =$3,若$D(ξ) = \frac{1}{2}$,则$b =$$\frac{1}{2}$.

答案： 4.$3\frac{1}{2}$ 解析：由随机变量分布列的性质，得$a + b + a = 2a + b = 1$，所以$E(\xi)=2a + 3b + 4a = 6a + 3b = 3(2a + b)=3$，
$D(\xi)=(2 - 3)^{2}a+(3 - 3)^{2}b+(4 - 3)^{2}a = 2a=\frac{1}{2}$，
解得$a = \frac{1}{4}$，代入$2a + b = 1$，得$b = \frac{1}{2}$.

对点训练
某公司研发出一款围棋机器人,并开展了一项比赛,比赛规则为一人与机器人对弈三次,若获胜一次,则可以获得2千元奖金,若获胜两次,则可以获得5千元奖金,若获胜三次,则可以获得1万元奖金,若三次均未获胜,则无奖金,已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,记此人可获得的奖金为X千元,则$D(X) =$$\frac{535}{64}$.

答案： [对点训练]
$\frac{535}{64}$ 解析：依题意可知，$X$的可能取值为$0,2,5,10$，
则$P(X = 0)=C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，$P(X = 2)=C_{3}^{1}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 5)=C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{3}{8}$，$P(X = 10)=C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，
所以$E(X)=0 × \frac{1}{8}+2 × \frac{3}{8}+5 × \frac{3}{8}+10 × \frac{1}{8}=\frac{31}{8}$，
又$E(X^{2})=0^{2} × \frac{1}{8}+2^{2} × \frac{3}{8}+5^{2} × \frac{3}{8}+10^{2} × \frac{1}{8}=\frac{187}{8}$，
所以$D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\frac{535}{64}$.

1. (2021·浙江卷)袋中有 4 个红球，m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ξ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$，则 $m - n =$1，$E(ξ)=$$\frac{8}{9}$.

答案： 1.1 $\frac{8}{9}$ 解析:$P(\xi=2)=\frac{\mathrm{C}_{m}^{2}}{\mathrm{C}_{m+n+4}^{2}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\Rightarrow\mathrm{C}_{m+n+4}^{2} =$
$36$,所以$m+n+4=9$.
$P(一红一黄)=\frac{\mathrm{C}_{m}^{1}\mathrm{C}_{n}^{1}}{\mathrm{C}_{m + n + 4}^{2}}=\frac{4m}{36}=\frac{m}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow m = 3$,所以$n = 2$,
则$m - n = 1$.
由于$P(\xi = 2)=\frac{1}{6}$,
$P(\xi = 1)=\frac{\mathrm{C}_{m}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}}{\mathrm{C}_{3}^{2}}=\frac{4×5}{36}=\frac{5}{9}$,
$P(\xi = 0)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{9}^{2}}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$,
所以$E(\xi)=\frac{1}{6}×2+\frac{5}{9}×1+\frac{5}{18}×0=\frac{1}{3}+\frac{5}{9}=\frac{8}{9}$.

2. (2025·安徽蚌埠模拟)从装有 2 个红球，2 个白球和 1 个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为 X，求 X 的分布列及均值.
$P(X = 2)=\frac{A_{2}^{2}}{A_{5}^{2}}$，$P(X = 3)=\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}A_{2}^{2}}{A_{5}^{3}}$，
$P(X = 4)=\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{2}A_{3}^{3}}{A_{5}^{4}}$，$P(X = 5)=1 -$
$P(X = 2)-P(X = 3)-P(X = 4)$.

答案： 2.解:由题意知$X$的所有可能取值为$2,3,4,5$.
当$X = 2$时,表示前$2$次取的都是红球,
$\therefore P(X = 2)=\frac{\mathrm{A}_{2}^{2}}{\mathrm{A}_{5}^{2}}=\frac{1}{10}$;
当$X = 3$时,表示前$2$次中取得$1$个红球,$1$个白球或黑球,第$3$次取得红球,
$\therefore P(X = 3)=\frac{\mathrm{C}_{1}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{A}_{2}^{2}}{\mathrm{A}_{5}^{3}}=\frac{1}{5}$;
当$X = 4$时,表示前$3$次中取得$1$个红球,$2$个不是红球,第$4$次取得红球,
$\therefore P(X = 4)=\frac{\mathrm{C}_{1}^{1}\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}}{\mathrm{A}_{5}^{4}}=\frac{3}{10}$;
当$X = 5$时,表示前$4$次中取得$1$个红球,$3$个不是红球,第$5$次取得红球,
$\therefore P(X = 5)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{4}^{4}}{\mathrm{A}_{5}^{5}}=\frac{2}{5}$
$\therefore X$的分布列为
$X$ $2$ $3$ $4$ $5$
$P$ $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{2}{5}$
$\therefore E(X)=2×\frac{1}{10}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{3}{10}+5×\frac{2}{5}=4$.