《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

10. (2025·河北唐山检测)某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目.求分别满足下列条件的排节目单的方法种数.
(1)一个唱歌节目开头,另一个收尾;
(2)2 个唱歌节目不相邻;
(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻.

答案： 10.解：
(1)先排唱歌节目有$A_{2}^{2}$种排法，再排其他节目有$A_{6}^{6}$种排法，所以共有$A_{2}^{2}A_{6}^{6}=1440$（种）排法.
(2)先排3个舞蹈、3个曲艺节目有$A_{6}^{6}$种排法.再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有$A_{7}^{2}$种方法，所以共有$A_{6}^{6}A_{7}^{2}=30240$（种）排法.
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共$A_{4}^{4}$种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有$A_{5}^{3}$种插入法，最后将2个唱歌节目进行排列，有$A_{2}^{2}$种排法.根据分步乘法计数原理，符合要求的排法共有$A_{4}^{4}A_{5}^{3}A_{2}^{2}=2880$（种）.

11. (2025·安徽滁州模拟)在试验员进行的一项试验中,先后要实施 5 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 C 和 D 实施时必须相邻,则试验顺序的编排方法共有(C)

A.15 种
B.18 种
C.24 种
D.44 种

答案： 11.C 解析：程序A只能出现在第一步或最后一步，共有2种不同的排法，将程序C和D“捆绑”成一个元素，再和其他两个元素一起排列，有$A_{3}^{3}$种不同的排法.同时，考虑程序C和D有2种不同的排法.根据分步乘法计数原理，共有$2× A_{3}^{3}×2 = 24$（种）不同的编排方法.故选C.

12. (2025·浙江宁波模拟)将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有(B)

A.1 108 种
B.1 008 种
C.960 种
D.504 种

答案： 12.B 解析：将丙、丁两人进行“捆绑”，看成一人.将6人全排列有$A_{2}^{2}A_{6}^{6}$种排法；将甲排在排头，有$A_{2}^{2}A_{5}^{5}$种排法；乙排在排尾，有$A_{2}^{2}A_{5}^{5}$种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}$种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有$A_{2}^{2}A_{6}^{6}-A_{2}^{2}A_{5}^{5}-A_{2}^{2}A_{5}^{5}+A_{2}^{2}A_{4}^{4}=1008$（种）.

13. (2025·重庆涪陵开学考试)甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行数学建模比赛,决出了第 1 名到第 5 名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说:“你不是最差的.”对乙说:“很遗憾,你和甲都没有得到冠军.”对丙说:“你不是第 2 名.”从这三个回答分析,5 名同学可能的名次排列情况种数为(B)

A.44
B.46
C.48
D.54

答案： 13.B 解析：甲不排首尾，有3种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有$A_{3}^{3}$种排法，共有$3×3×A_{3}^{3}=3×3×3×2×1 = 54$（种）不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有$A_{2}^{2}$种排法，故共有$2×2×A_{2}^{2}=2×2×2×1 = 8$（种）不同的情况；从而5名同学可能的名次排列情况种数为$54 - 8 = 46$.

14. (2025·湖南长沙模拟)我校田径队有十名队员,分别记为 A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,为完成某训练任务,现将十名队员分成甲、乙两队.其中将 A,B,C,D,E 五人排成一行形成甲队,要求 A 与 B 相邻,C 在 D 的左边,剩下的五位同学排成一行形成乙队,要求 F 与 G 不相邻,则不同的排列方法种数为1728.

答案： 14.1728 解析：甲队：先用捆绑法，将A与B捆绑有$A_{2}^{2}=2$（种）排法，将A与B看作一个整体，再用除法得$\frac{A_{4}^{4}}{A_{2}^{2}}=12$（种），
乙队：利用插空法得$A_{3}^{3}A_{2}^{2}=72$（种），按照分步乘法计数原理可知，一共有$24×72 = 1728$（种）排法.

15. 将 A,B,C,D,E 这 5 个字母排成一列,若要求 A,B,C 在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),则有多少种不同的排列方法?

答案： 15.解：方法一(整体法)：不考虑约束条件，将5个元素全排列有$A_{5}^{5}$种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中符合条件的排列方法有$\frac{A_{5}^{5}}{A_{3}^{3}}×2 = 40$（种）.
方法二(插空法)：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有$A_{1}^{1}A_{2}^{2}$种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有$A_{4}^{2}$种排法.所以有$A_{1}^{1}A_{2}^{2}+A_{4}^{2}=20$（种）不同的排列方法.同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.因此，满足条件的排列方法有$20 + 20 = 40$（种）.

16. (2025·湖南益阳模拟)欧拉函数 $\varphi(n)(n\in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$,且与 $n$ 互素的正整数的个数,例如: $\varphi(1)=1,\varphi(4)=2$,现将 $\varphi(2),\varphi(4),\varphi(6),\varphi(8),\varphi(10)$ 的函数值排成一列,则组成的不同五位数的个数为(B)

A.60
B.30
C.15
D.120

答案： 16.B 解析：由题意可知，$\varphi(2)=1$，$\varphi(4)=2$，$\varphi(6)=2$，$\varphi(8)=4$，$\varphi(10)=4$，所以，将$\varphi(2)$，$\varphi(4)$，$\varphi(6)$，$\varphi(8)$，$\varphi(10)$的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为$\frac{A_{5}^{5}}{A_{2}^{2}A_{2}^{2}}=30$.

17. (2025·广东深圳模拟)来自 4 个班的 7 名同学一起参与登山活动,其中一班有 3 人,二班有 2 人,三班和四班各 1 人,到达山顶之后 7 人排成一排合影留念,则同班同学不相邻的站法总共有1152种.

答案： 17.1152 解析：不妨设一班3人为$A_1$，$A_2$，$A_3$，二班2人为$B_1$，$B_2$，三班1人为$C$，四班1人为$D$，则$A_1$，$A_2$，$A_3$不能相邻，$B_1$，$B_2$不能相邻.以下分两类，先排$B_1$，$B_2$，$C$，$D$的相对位置：若$B_1$，$B_2$之间没有$C$，$D$，则打包$B_1$，$B_2$可知这四人共有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}$种相对位置，再让$A_1$，$A_2$，$A_3$来进行插空，因为$B_1$，$B_2$不能相邻，所以他们之间必然会有且只有一个一班同学，所以总共有$(A_{2}^{2}A_{3}^{3})·3A_{2}^{2}=432$（种）；若$B_1$，$B_2$之间有$C$或$D$，则这四人共有$(A_{4}^{4}-A_{2}^{2}A_{3}^{3})$种相对位置，再让$A_1$，$A_2$，$A_3$来进行插空，共有$(A_{4}^{4}-A_{2}^{2}A_{3}^{3})·A_{3}^{3}=720$（种），综上，总共有$432 + 720 = 1152$（种）站法.

18. 从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$? 其中有实根的方程有多少个?

答案： 18.解：先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定$a$，只能从1,3,5,7中选一个，有$A_{4}^{1}$种，然后从余下的4个数中任选两个作$b$，$c$，有$A_{4}^{2}$种，则由分步乘法计数原理，组成的一元二次方程共有$A_{4}^{1}A_{4}^{2}=48$（个）.方程要有实根，必须满足$\Delta=b^{2}-4ac\geq0$.分类讨论如下：当$c = 0$时，$a$，$b$可在1,3,5,7中任取两个排列，有$A_{4}^{2}$个.当$c\neq0$时，分析判别式知，$b$只能取5,7.当$b$取5时，$a$，$c$只能取1,3这两个数，有$A_{2}^{2}$个；当$b$取7时，$a$，$c$可取1,3或1,5这两组数，有$2A_{2}^{2}$个，此时共有$(A_{2}^{2}+2A_{2}^{2})$个.由分类加法计数原理，有实根的一元二次方程共有$A_{2}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{2}^{2}=18$（个）.