《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

8. (2025·河北衡水检测) 已知随机变量 $ \xi $ 只能取三个值：$ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，其概率依次成等差数列，则公差 $ d $ 的取值范围是(-1/3,1/3).

答案： 8.$(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ 解析：设$\xi$取$x_{1},x_{2},x_{3}$的概率分别为$a-d$，
$a,a+d$，则$a-d+a+a+d=1$，解得$a=\frac{1}{3}$.由
$\begin{cases}0＜\frac{1}{3}-d＜1,\\0＜\frac{1}{3}+d＜1.\end{cases}$
得$-\frac{1}{3}＜d＜\frac{1}{3}$，即公差$d$的取值范围为
$(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。

9. (2025·山东日照月考) 设离散型随机变量 $ \xi $ 的分布列为 $ P(\xi=\frac{k}{5}) = ak $，$ k = 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $.
(1) 求常数 $ a $ 的值；
(2) 求 $ P(\xi\geq \frac{3}{5}) $；
(3) 求 $ P(\frac{1}{10} ＜ \xi ＜ \frac{7}{10}) $.

答案： 9.解：
(1)由离散型随机变量分布列的性质，得
$a·1+a·2+a·3+a·4+a·5=1$，解得$a=\frac{1}{15}$。
(2)由
(1)，得$P(\xi=\frac{k}{5})=\frac{1}{15}k$，$k=1,2,3,4,5$。
$\therefore P(\xi\geq\frac{3}{5})=P(\xi=-\frac{3}{5})+P(\xi=\frac{4}{5})+P(\xi=1)=\frac{3}{15}+\frac{4}{15}+\frac{5}{15}=\frac{4}{5}$。
(3)$\because\frac{1}{10}＜\xi＜\frac{7}{10}\therefore\xi=\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5}$，
$\therefore P(\frac{1}{10}＜\xi＜\frac{7}{10})=P(\frac{2}{10}\leq\xi\leq\frac{6}{10})=P(\xi=\frac{1}{5})+P(\xi=\frac{2}{5})+P(\xi=\frac{3}{5})=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}+\frac{3}{15}=\frac{2}{5}$。

10. 已知随机变量 $ \xi $ 的分布列为

(1) 求 $ \eta_1=\frac{1}{2}\xi $ 的分布列；
(2) 求 $ \eta_2=\xi^2 $ 的分布列.

答案： 10.解：
(1)$\eta_{1}=\frac{1}{2}\xi$的分布列为
$\begin{matrix}\eta_{1}&-1&\frac{1}{2}&0&1\frac{3}{2}\\P&\frac{1}{12}&\frac{1}{4}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}$
(2)$\eta_{2}=\xi^{2}$的取值为0,1,4,9，分别对应$\xi=0,\pm1,\pm2,3$的
取值，其分布列为
$\begin{matrix}\eta_{2}&0&1&4&9\\P&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}$

11. (2025·湖北宜昌模拟) 已知盒中装有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，3 个是旧的 (用过的就是旧的). 从盒中任取 3 个使用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数 $ Y $ 是一个随机变量，求 $ Y $ 的分布列.

答案： 11.解：由题意知，取出的3个球中旧球的个数X的所有可能取
值为0,1,2,3，用完放回后增加的旧球个数分别为3(取出的
为3个新球)，2(取出的为1个旧球和2个新球)，1(取出的
为2个旧球和1个新球)，0(取出的为3个旧球)，所以此时
盒中旧球的个数Y的所有可能取值为6,5,4,3.
由此建立了Y与X的关系，可用X的分布列表示Y的分
布列，
$P(Y=3)=P(X=3)=\frac{C_{3}^{3}C_{3}^{0}}{C_{12}^{3}}=\frac{1}{220}$，
$P(Y=4)=P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{12}^{3}}=\frac{27}{220}$，
$P(Y=5)=P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{1}}{C_{12}^{3}}=\frac{27}{55}$，
$P(Y=6)=P(X=0)=\frac{C_{3}^{0}C_{3}^{3}}{C_{12}^{3}}=\frac{21}{55}$，
所以Y的分布列为
$\begin{matrix}Y&3&4&5&6\\P&\frac{1}{220}&\frac{27}{220}&\frac{27}{55}&\frac{21}{55}\end{matrix}$

12. 在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品. 顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 $ X $ 的分布列.

答案： 12.解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只
有0和1两种情况.
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{2}{5}$，
$P(X=0)=\frac{C_{6}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{3}{5}$。
因此X的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1\\P&\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}$

13. 一个袋中有质地、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球.
(1) 从中任意摸出 1 个球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，即 $ X=\begin{cases}0, 摸出白球, \\ 1, 摸出红球,\end{cases} $ 求 $ X $ 的分布列；
(2) 从中任意摸出 2 个球，用 $ \{\eta = 0\} $ 表示 2 个球全是白球，$ \{\eta = 1\} $ 表示 2 个球不全是白球，求 $ \eta $ 的分布列.

答案： 13.解：
(1)由题意知，$P(X=0)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{3}}=\frac{3}{7}$，
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{7}$。
所以X的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1\\P&\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}$
(2)由题意知，$P(\eta=0)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{1}{7}$，
$P(\eta=1)=1-P(\eta=0)=\frac{6}{7}$。
所以$\eta$的分布列为
$\begin{matrix}\eta&0&1\\P&\frac{1}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}$