《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

11. (2025·广东广州检测)设随机变量$\xi$的分布列为$P(\xi = k) = \frac{c}{k(1 + k)}$，其中$k = 1,2,3$，$c$为常数，则$P(\xi \geq 2)=$(C)

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$

答案： 11.C 解析：根据分布列中所有概率的和为1，得$\frac{c}{1×2}+\frac{c}{2×3}+\frac{c}{3×4}=1$，解得$c=\frac{4}{3}$，则$P(\xi=k)=\frac{4}{3}·\frac{1}{k(1+k)}$，所以
$P(\xi\geqslant2)=P(\xi=2)+P(\xi=3)=\frac{4}{3}×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4})=\frac{1}{3}$.
故选C.

12. (多选题)(2025·湖南长沙模拟)一盒中有 7 个乒乓球，其中 5 个未使用过，2 个已使用过.现从盒子中任取 3 个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为$X$，则下列结论正确的有(AC)

A.$X$的所有可能取值是 3，4，5
B.$X$最有可能的取值是 5
C.$P(X = 3) = \frac{1}{7}$
D.$P(X = 4) = \frac{1}{7}$

答案： 12.AC 解析：记未使用过的乒乓球为$M$，已使用过的乒乓球
为$N$，
任取3个球的所有可能为1个$M$球和2个$N$球,2个$M$球
和1个$N$球,3个$M$球.
$M$球使用后成为$N$球，故$X$的所有可能取值是3,4,5，故A
正确；
又$P(X=3)=\frac{C_5^3C_2^2}{C_7^3}=\frac{1}{7}$，故C正确；
$P(X=4)=\frac{C_5^2C_2^2}{C_7^3}=\frac{4}{7}$，$P(X=5)=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{2}{7}$，
所以$X$最有可能的取值是4，故B,D错误.

13. (2025·河北邢台月考)已知随机变量$X$的分布列为

若$P(X^2 \lt m) = \frac{11}{12}$，则实数$m$的取值范围是(B)

A.$4 \leq m \leq 9$
B.$4 \lt m \leq 9$
C.$4 \leq m \lt 9$
D.$4 \lt m \lt 9$

答案： 13.B 解析：由随机变量$X$的分布列知，$X^2$的可能取值为0,1,4，
9，且$P(X^2=0)=\frac{4}{12}$，$P(X^2=1)=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}$，$P(X^2=4)=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3}{12}$，$P(X^2=9)=\frac{1}{12}$.$\because P(X^2＜m)=\frac{11}{12}=1-\frac{1}{12}$，$\therefore X^2=0,1,4,X^2$不能为9.故实数$m$的取值范围是$4＜m\leqslant9$.故选B.

14. (2025·河北廊坊模拟)一个袋中装有 6 个形状、大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中有放回地抽取 3 次球，每次抽取 1 个球.
(1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得 1 号球的个数为随机变量$X$，求随机变量$X$的分布列.

答案：
14.解：
(1)由题意知，取出的3个球的颜色都不相同的概率$P=\frac{C_3^1× C_2^1× C_1^1× A_3^3}{6^3}=\frac{1}{6}$.
(2)由题意知$X=0,1,2,3$.
$P(X=0)=\frac{3^3}{6^3}=\frac{1}{8}$，$P(X=1)=\frac{C_3^1×3×3×3}{6^3}=\frac{3}{8}$.
$P(X=2)=\frac{C_3^2×3×3×3}{6^3}=\frac{3}{8}$，$P(X=3)=\frac{3^3}{6^3}=\frac{1}{8}$.
所以$X$的分布列为

15. (2025·安徽宿州模拟)青蒿素是一种用于治疗疟疾的药物.目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项指标分别记为$x,y,z$，并对它们进行量化.0 表示不合格，1 表示临界合格，2 表示合格，再用综合指标$\omega = x + y + z$的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若$\omega \geq 4$，则长势为一级；若$2 \leq \omega \leq 3$，则长势为二级；若$0 \leq \omega \leq 1$，则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了 10 块青蒿人工种植地，得到的结果如下表所示.

(1)在这 10 块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标$z$相同的概率；
(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为$a$，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为$b$，记随机变量$X = a - b$，求$X$的分布列.

答案：
15.解：
(1)由题表可知，空气湿度指标为0的有$A_1$，共1块，空
气湿度指标为1的有$A_2,A_3,A_5,A_6,A_9,A_{10}$，共6块，空气
湿度指标为2的有$A_4,A_6,A_7$，共3块.
在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数$n=C_{10}^2=45$，
这两地的空气湿度的指标$z$相同包含的基本事件个数$m=C_6^2+C_3^2=18$，
所以这两地的空气湿度的指标$z$相同的概率$P=\frac{m}{n}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$.
(2)根据题意得10块青蒿人工种植地的综合指标如下表：

其中长势等级是一级($\omega\geqslant4$)的有$A_2,A_3,A_4,A_6,A_7,A_9$，共
6块，
长势等级不是一级($0\leqslant\omega＜4$)的有$A_1,A_5,A_8,A_{10}$，共4块，
所以随机变量$X$的所有可能取值为1,2,3,4,5，
$P(X=1)=\frac{C_2^1C_4^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{4}$，
$P(X=2)=\frac{C_2^1C_1^1+C_4^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$，
$P(X=3)=\frac{C_2^1C_1^1+C_1^1C_4^1+C_4^1C_1^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$，
所以$X$的分布列为