《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·天津红桥检测)设离散型随机变量 $ X $ 的分布列为


A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7

答案： 1.A 解析：$P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3$.

2. (多选题)(2025·山东菏泽检测)下列随机变量是离散型随机变量的有 (ABD)

A.连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 $ X $
B.南京长江大桥一天经过的车辆数 $ X $
C.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 $ X $
D.连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 $ X $

答案： 2.ABD 解析：选项B,D中$X$的取值有限，且可以一一列举出来；选项A中$X$的取值依次为$1,2,3,·s$，虽然无限，但可一一列举出来，故均为离散型随机变量.
而选项C中$X$的取值可能包含某段区间，不能一一列举出来，所以不是离散型随机变量.

3. (2025·湖南怀化模拟)设随机变量 $ \xi $ 的概率分布列如表，则常数 $ a = $$\frac{1}{3}$。

答案： 3.$\frac{1}{3}$ 解析：由题意可得$\begin{cases}3 - 8a ＞ 0,\\9a^2 - a ＞ 0,\\9a^2 - a + 3 - 8a = 1,\end{cases}$
由$9a^2 - a + 3 - 8a = 1$可得$(3a - 2)(3a - 1) = 0$，
故$a = \frac{1}{3}$或$a = \frac{2}{3}$，
结合$\begin{cases}a ＜ \frac{3}{8},\\a ＞ \frac{1}{9}或a ＜ 0,\end{cases}$
故$a = \frac{1}{3}$.

4. (2025·河南郑州模拟)若随机变量 $ X $ 服从两点分布，且 $ P(X = 1) = 0.2 $。令 $ Y = 3X - 2 $，则 $ P(Y = -2) = $0.8。

答案： 4.0.8 解析：由$Y = -2$，且$Y = 3X - 2$，得$X = 0$，
$\therefore P(Y = -2)=P(X = 0)=1 - P(X = 1)=0.8$.

已知离散型随机变量 $ X $ 的分布列为
求：(1) $ 2X + 1 $ 的分布列；
(2) $ |X - 1| $ 的分布列。

答案：
解：由分布列的性质知$0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.3 + m = 1$，
解得$m = 0.3$.由题意列表如下：

(1)易得$2X + 1$的分布列为

(2)易得$\vert X - 1\vert$的分布列为

1. 写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1) 一个袋中装有大小相同的 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 $ X $；
(2) 先后抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值 $ Y $.

答案： 1.解：
(1)X的所有可能取值为0,1,2.
$\{X=0\}$表示“所取的3个球是3个黑球”；
$\{X=1\}$表示“所取的3个球是1个白球，2个黑球”；
$\{X=2\}$表示“所取的3个球是2个白球，1个黑球”.
(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
用(a,b)表示一个基本事件，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数.
$\{Y=0\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相同”，其包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)；
$\{Y=1\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相差1”，其包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)；
$\{Y=2\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相差2”，其包含的基本事件有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)；
$\{Y=3\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相差3”，其包含的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)；
$\{Y=4\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相差4”，其包含的基本事件有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)；
$\{Y=5\}$表示“掷出的两枚骰子的点数相差5”，其包含的基本事件有(1,6)，(6,1).

2. (2025·山东青岛模拟) 某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为玩偶和现金. 活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满 300 元的顾客，第二天上午 8 点前就可以从若干个抽奖箱 (每个箱子中装有 8 张卡片，3 张印有“奖”字，5 张印有“谢谢参与”，其他完全相同) 中选一个箱子并一次性抽出 3 张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到 1 张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金 10 元；抽到 2 张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励 1 个玩偶；抽到 3 张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励 2 个玩偶.
(1) 求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2) 设每次参与抽奖活动所得的玩偶个数为 $ X $，求 $ X $ 的分布列.

答案： 2.解：
(1)方法一：由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率
$P=\frac{C_{3}^{3}C_{5}^{2}}{C_{8}^{3}}+\frac{C_{3}^{2}C_{5}^{1}}{C_{8}^{3}}+\frac{C_{3}^{0}C_{5}^{0}}{C_{8}^{3}}=\frac{30}{56}+\frac{15}{56}+\frac{1}{56}=\frac{23}{28}$。
方法二：由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率$P=1-\frac{C_{3}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{23}{28}$。
(2)由题设，X的可能取值为0,1,2,则
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{C_{3}^{2}C_{5}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{5}{7}$，$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{5}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{15}{56}$，
$P(X=2)=\frac{C_{3}^{0}C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{1}{56}$。
所以X的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2\\P&\frac{5}{7}&\frac{15}{56}&\frac{1}{56}\end{matrix}$