《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

7. (2025·广东东莞检测)甲、乙、丙三人用如图所示的七张卡片组成一个三位数，规则如下：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。则组成的不同三位数的个数为(C)


A.21
B.48
C.64
D.81

答案： 7.C解析:第一步:甲从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况;第二步:同理，乙有4种情况;第三步:同理，丙也有4种情况.根据分步乘法计数原理，组成的不同三位数的个数为4×4×4 = 64.故选C.

8. (2025·河南南阳模拟)学校教师运动会设置有“跳绳”“立定跳远”“定点投篮”“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有(B)

A.12 种
B.14 种
C.7 种
D.9 种

答案： 8.B解析:分两类情况:
(1)当甲安排“定点投篮”时，另外3人任意安排工作有6种方法;　
(2)当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种方法，再安排乙有2种方法，另外剩余2人有2种方法，此时有2×2×2 = 8(种)方法.　所以不同的安排方法共有6 + 8 = 14(种).

9. (多选题)(2025·河北衡水模拟)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过 9 站的地铁票价如表：
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 9 站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的有(BD)

A.若甲和乙两人共花费 5 元，则甲和乙下地铁的方案共有 9 种
B.若甲和乙两人共花费 5 元，则甲和乙下地铁的方案共有 18 种
C.若甲和乙两人共花费 6 元，则甲和乙下地铁的方案共有 9 种
D.若甲和乙两人共花费 6 元，则甲和乙下地铁的方案共有 27 种

答案： 9.BD解析:因为甲、乙两人乘坐地铁共花费5元，则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6，设首站之后的前6站分别为A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂，若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为(A₁，A₂)，(A₁，B₂)，(A₁，C₂)，(B₁，A₂)，(B₁，B₂)，(B₁，C₂)，(C₁，A₂)，(C₁，B₂)，(C₁，C₂)，共9种，同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有9种方案，因此甲和乙两人共花费5元时共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确;设首站之后的前9站分别为A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂，A₃，B₃，C₃，若甲、乙两人共花费6元，则可分三类情况:甲花费2元，乙花费4元;甲花费3元，乙花费3元;甲花费4元，乙花费2元;由选项A，B的分析可知每类情况有9种方案，所以甲、乙两人共花费6元时共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确.

10. (2025·广东珠海月考)从 0，1，2，3，4 五个数字中任取三个数字，组成能被 3 整除的没有重复数字的三位自然数，共有20个。

答案： 10.20解析:能被3整除的数，各位数字之和必须是3的倍数，当百位是1时，有102,120,123,132，共4个;当百位为2时，有201,210,204,240,213,231,234,243，共8个;当百位为3时，有312,321,324,342，共4个;当百位为4时，有402,420,423,432，共4个.所以共有4 + 8 + 4 + 4 = 20(个).

11. (2025·江苏南京模拟)在某一运动会百米决赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛。其中甲、乙、丙三人必须在 1，2，3，4，5，6，7，8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有2880种。

答案： 11.2880解析:分两步安排这8名运动员.　第一步:安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2 = 24(种).　第二步:安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的1条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1 = 120(种).故安排这8人的方式共有24×120 = 2880(种).

12. (2025·陕西西安模拟)有 6 名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定 6 名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限。

答案： 12.解:
(1)每人都可以从这三个智力竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法.根据分步乘法计数原理，可得共有3⁶ = 729(种)不同的报名方法.　
(2)第一个项目有6种报名方法，第二个项目有5种报名方法，第三个项目有4种报名方法.根据分步乘法计数原理，可得共有6×5×4 = 120(种)不同的报名方法.　
(3)每一个项目都可以从这6人中选出1人参加.　根据分步乘法计数原理，可得共有6³ = 216(种)不同的报名方法.

13. 满足 $ a,b \in \{ -1,0,1,2 \} $，且关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x + b = 0 $ 有实数解的有序数对 $ (a,b) $ 的个数为(B)

A.14
B.13
C.12
D.10

答案： 13.B解析:①当a = 0时，2x + b = 0总有实数根，所以(a,b)的取值有4个.②当a≠0时，需Δ = 4 - 4ab≥0，所以ab≤1.当a = -1时，b的取值有4个;当a = 1时，b的取值有3个;当a = 2时，b的取值有2个.所以(a,b)的取值有9个.综合①②知，(a,b)的取值有4 + 9 = 13(个).

14. (2025·浙江杭州模拟)某公司新招聘进 8 名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中 2 名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外 3 名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(C)

A.18
B.24
C.36
D.72

答案： 14.C解析:由题意可得，分两类:①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法;翻译人员的分配有2种方法;再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3 = 18(种)分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法;翻译人员的分配有2种方法;再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3 = 18(种)分配方案.由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18 + 18 = 36(种).