《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

3. (2025·北京西城检测)某抽奖活动规则如下：从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取 2 个球，每取出一个红球奖励 50 元.设一次抽奖随机取出的红球的个数为 X.
(1)求随机变量 X 的分布列，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$；取 2 个球，$X = 0$，1，2.
(2)若参与一次需要花费 60 元，设每次抽奖的收益为 Y 元，写出随机变量 Y 的期望 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$. $Y = 50X - 60$

答案： 3.解:
(1)依题意,$X$的所有可能值为$0,1,2$,
$P(X = 0)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}=\frac{1}{10},P(X = 1)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$,
$P(X = 2)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$,
所以$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$
$P$ $\frac{1}{10}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{10}$
期望$E(X)=0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$,
方差$D(X)=(0 - \frac{6}{5})^{2}×\frac{1}{10}+(1 - \frac{6}{5})^{2}×\frac{3}{5}+(2 - \frac{6}{5})^{2}×\frac{3}{10}=\frac{9}{25}$
(2)依题意,每次抽奖的收益$Y = 50X - 60$,
所以期望$E(Y)=50E(X)-60=50×\frac{6}{5}-60 = 0$,
方差$D(Y)=50^{2}D(X)=50^{2}×\frac{9}{25}=900$.

4. A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$，根据市场分析，$X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的分布列分别为

(1)在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，$Y_{1}$(万元)和 $Y_{2}$(万元)分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 $D(Y_{1})$，$D(Y_{2})$；
(2)将 $x(0\leq x\leq100)$万元投资 A 项目，$(100 - x)$万元投资 B 项目，$f(x)$表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 $f(x)$ 的最小值，并指出 x 为何值时，$f(x)$ 取得最小值(注：$D(aX + b)=a^{2}D(X)$). 由题意写出 $f(x)$ 的解析式，再求函数的最小值.

答案：
4.解:
(1)由题设可知$Y_1$和$Y_2$的分布列分别为

$E(Y_1)=5×0.8 + 10×0.2 = 6$,
$D(Y_1)=(5 - 6)^{2}×0.8+(10 - 6)^{2}×0.2 = 4$.
$E(Y_2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3 = 8$,
$D(Y_2)=(2 - 8)^{2}×0.2+(8 - 8)^{2}×0.5+(12 - 8)^{2}×0.3 = 12$.
(2)$f(x)=D(\frac{x}{100}Y_1)+D(\frac{100 - x}{100}Y_2)=(\frac{x}{100})^{2}D(Y_1)+(\frac{100 - x}{100})^{2}D(Y_2)=\frac{4}{100^{2}}[x^{2}+3(100 - x)^{2}]=\frac{4}{10000}(4x^{2}-600x + 30000)=\frac{1}{625}(x - 75)^{2}+3$,
所以当$x = 75$时,$f(x)$取得最小值$3$.

5. (2021·新高考全国卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列.
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
计算先回答 A 类问题的期望值 $E(X)$，再计算先回答 B 类问题的期望值，加以比较.

答案：
5.解:
(1)由题可知$X$的所有可能取值为$0,20,100$.
$P(X = 0)=1 - 0.8 = 0.2$;
$P(X = 20)=0.8×(1 - 0.6)=0.32$;
$P(X = 100)=0.8×0.6 = 0.48$.
所以$X$的分布列为

(2)由
(1)知,若小明先回答$A$类问题,则$E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48 = 54.4$.
若小明先回答$B$类问题,记$Y$为小明的累计得分,则$Y$的所有可能取值为$0,80,100$.
$P(Y = 0)=1 - 0.6 = 0.4$;
$P(Y = 80)=0.6×(1 - 0.8)=0.12$;
$P(Y = 100)=0.8×0.6 = 0.48$.
所以$E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48 = 57.6$.
因为$E(Y)＞E(X)$,所以小明应选择先回答$B$类问题.