《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·广东揭阳模拟)若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为$\frac{3}{4}$，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量$X$，则$D(2X + 3)=$(B)

A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 1.B 解析：由题意得$X$服从两点分布，故$P(X=1)=\frac{3}{4}$，$P(X=$ $0)=\frac{1}{4}$，所以$D(2X + 3)=4D(X)=4×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

2. 已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的对称轴在$y$轴的左侧，其中$a$，$b$，$c \in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$，在这些抛物线中，记随机变量$\xi = |a - b|$，则$\xi$的数学期望$E(\xi)$为(A)

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 2.A 解析：由于抛物线的对称轴在$y$轴的左侧，故$-\frac{b}{2a}＜0$，即$a$， $b$同号，故抛物线共有$3×3×7×2 = 126$（条）.易知$\xi$的所有可能 取值为$0,1,2$，$P(\xi=0)=\frac{6×7}{126}=\frac{1}{3}$，$P(\xi=1)=\frac{8×7}{126}=\frac{4}{9}$，$P(\xi=$ $2)=\frac{4×7}{126}=\frac{2}{9}$. 故$E(\xi)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$.故选A.

3. (2025·辽宁沈阳模拟)设离散型随机变量$X$可能的取值为$1$，$2$，$3$，$4$，$P(X = k) = ak + b$，若$X$的均值为$E(X) = 3$，则$a - b=$(A)

A.$\frac{1}{10}$
B.$0$
C.$-\frac{1}{10}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 3.A 解析：由题意知$(a + b)+(2a + b)+(3a + b)+(4a + b)$ $=1$，即$10a + 4b = 1$，又$E(X)=3$，则$(a + b)+2(2a + b)+$ $3(3a + b)+4(4a + b)=3$，即$30a + 10b = 3$， $\therefore a=\frac{1}{10}$，$b = 0$，$\therefore a - b=\frac{1}{10}$.

4. (多选题)(2025·湖北荆州模拟)盒中装有$3$个黄球和$1$个红球，现从盒中每次随机抽取出$1$个球且不放回，直至取出红球为止.设在此过程中，取到黄球的个数为$X$，则(AD)

A.$P(X = 1) = \frac{1}{4}$
B.$E(X) = 1$
C.$E(2X + 1) = 3$
D.$D(2X + 1) = 5$

答案：
4.AD 解析：由题意可知，随机变量$X$的所有可能取值为$0$，$1$， $2$，$3$， 则$P(X = 0)=\frac{1}{4}$，$P(X = 1)=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$，故A正确； 又$P(X = 2)=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$， $P(X = 3)=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$， 故$X$的分布列为 所以$E(X)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$，故B 错误； $E(2X + 1)=2E(X)+1=2×\frac{3}{2}+1 = 4$，故C错误； $D(X)=\frac{1}{4}×[(0 - \frac{3}{2})^2+(1 - \frac{3}{2})^2+(2 - \frac{3}{2})^2+(3 -$ $\frac{3}{2})^2]=\frac{5}{4}$， 所以$D(2X + 1)=2^2· D(X)=5$，故D正确.

5. (多选题)(2025·山东潍坊模拟)已知集合$A = B = \{1,2,3\}$，分别从集合$A$，$B$中随机取一个数，用$X$表示两数之和，$X$的均值和方差分别为$E(X)$，$D(X)$，则(BCD)

A.$P(X = 4) = 2P(X = 2)$
B.$P(3 \leq X \leq 5) = \frac{7}{9}$
C.$E(X) = 4$
D.$D(X) = \frac{4}{3}$

答案： 5.BCD 解析：由题意可知，$X$的取值范围为$\{2,3,4,5,6\}$，分别 从集合$A$，$B$中任取一个数，共有$9$种情况， 所以$P(X = 2)=\frac{1}{9}$，$P(X = 3)=\frac{2}{9}$，$P(X = 4)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$， $P(X = 5)=\frac{2}{9}$，$P(X = 6)=\frac{1}{9}$. 对于$A$，$P(X = 4)=3P(X = 2)$，故A不正确； 对于$B$，$P(3\leq X\leq5)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$，故B正确； 对于$C$，$E(X)=2×\frac{1}{9}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{2}{9}+6×\frac{1}{9}$ $=\frac{36}{9}=4$，故C正确；  对于$D$，$D(X)=(2 - 4)^2×\frac{1}{9}+(3 - 4)^2×\frac{2}{9}+(4 - 4)^2×$ $\frac{1}{3}+(5 - 4)^2×\frac{2}{9}+(6 - 4)^2×\frac{1}{9}=\frac{4}{3}$，故D正确.

6. (2025·上海卷)已知随机变量$X$的分布为$\begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{pmatrix}$，则期望$E(X)=$ ______ .

答案： 6.6.3 解析：由题意得$E(X)=5×0.2 + 6×0.3 + 7×0.5 = 1 +$ $1.8 + 3.5 = 6.3$.故答案为$6.3$.

7. (2025·江苏徐州模拟)“双减”政策实施后，为了解某地学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了$600$名学生，得到的数据统计如表所示：

(1)估计这$600$名学生周末体育锻炼时间的平均数$\overline{t}$；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)在这$600$人中，用按比例分配的分层随机抽样的方法，从周末体育锻炼时间在$[40,60)$内的学生中抽取$15$人，再从这$15$人中随机抽取$3$人，记这$3$人周末体育锻炼时间在$[50,60)$内的人数为$X$，求$X$的分布列以及$E(X)$.

答案：
7.解：
(1)估计这$600$名学生周末体育锻炼时间的平均数$\overline{i}=$ $35×0.1 + 45×0.2 + 55×0.3 + 65×0.15 + 75×0.15 + 85×0.1$ $=58.5(\min)$.\n
(2)依题意得，从周末体育锻炼时间在$[40,50)$内的学生中抽 取$6$人，在$[50,60)$内的学生中抽取$9$人， 则$X$的所有可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$， $P(X = 0)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{4}{91}$，$P(X = 1)=\frac{C_{6}^{2}C_{9}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{27}{91}$， $P(X = 2)=\frac{C_{6}^{1}C_{9}^{2}}{C_{15}^{3}}=\frac{216}{455}$，$P(X = 3)=\frac{C_{9}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{12}{65}$ 故$X$的分布列为 $\frac{12}{65}$ 则$E(X)=0×\frac{4}{91}+1×\frac{27}{91}+2×\frac{216}{455}+3×\frac{12}{65}=\frac{9}{5}$.

8. (2025·河南新乡模拟)如图，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$均在直线$l$上，且$AB = BC = CD = DE = 1$，质点$M$与质点$N$均从点$C$出发，两个质点每次都只能向左或向右移动$1$个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为$\frac{1}{4}$，每个质点均移动$2$次.已知每个质点移动$2$次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量$X$为两个质点各自移动$2$次后到达的点所对应的积分之和.


(1)求质点$M$移动$2$次后到达的点所对应的积分为$0$的概率；
(2)求随机变量$X$的分布列及数学期望.

答案： 8.解：
(1)设事件$F$为“质点$M$移动$2$次后到达的点所对应的积 分为$0$”， 由题意可知点$M$两次移动后在点$C$，又起点为点$C$，即$M$的 移动为一次向左一次向右， 所以$P(F)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$.\n
(2)$X$的所有可能取值为$-400$，$-200$，$0$，$200$，$400$. $P(X = -400)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{256}$， $P(X = -200)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{8}×2=\frac{3}{64}$， $P(X = 0)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×2+\frac{3}{8}×\frac{3}{8}=\frac{27}{128}$， $P(X = 200)=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{8}×2=\frac{27}{64}$， $P(X = 400)=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{81}{256}$. 所以随机变量$X$的分布列为 $X$ $-400$ $-200$ $0$ $200$ $400$ $P$ $\frac{1}{256}$ $\frac{3}{64}$ $\frac{27}{128}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{81}{256}$ $E(X)=-400×\frac{1}{256}+(-200)×\frac{3}{64}+0×\frac{27}{128}+200×\frac{27}{64}+$ $400×\frac{81}{256}=200$.