《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 求值：$\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}$。

答案： 1.解：由排列数的性质，得$A_{10}^{6}=10A_{9}^{5}$，$A_{10}^{10}=10A_{9}^{9}$，
又因为$A_{9}^{5}=9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 5A_{4}^{4}$，
所以$\frac{A_{5}^{5} + A_{4}^{4}}{A_{6}^{6} - A_{10}^{10}}=\frac{5A_{4}^{4} + A_{4}^{4}}{50A_{4}^{4} - 10A_{9}^{9}}=\frac{6A_{4}^{4}}{40A_{9}^{4}}=\frac{3}{20}$。

2. (2025·湖北武汉月考)$3$名男生，$4$名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法数。
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男、女各站在一起；
(5)全体站成一排，男生必须排在一起；
(6)全体站成一排，男生不能排在一起；
(7)全体站成一排，男、女生分别各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有$2$人；
(9)全体站成一排，甲、乙、丙的相对位置确定；
(10)排成前后两排，前排$3$人，后排$4$人。

答案： 2.解：
(1)(元素分析法)先考虑甲的位置，有$A_{1}^{1}$种排法；再考虑其余6人的位置，有$A_{6}^{6}$种排法.故有$A_{1}^{1}A_{6}^{6}=2 × 160$(种)排法.
(2)(元素分析法)先安排甲、乙的位置，有$A_{5}^{2}$种排法；再安排其余5人的位置，有$A_{5}^{5}$种排法.故有$A_{5}^{2}A_{5}^{5}=240$(种)排法.
(3)方法一(元素分析法)：按甲是否在最右端分两类.
第一类：甲在最右端，有$A_{6}^{6}$种排法；
第二类：甲不在最右端，甲有$A_{5}^{1}$个位置可选，乙也有$A_{5}^{1}$个位置可选，其余5人有$A_{5}^{5}$种排法，即有$A_{5}^{1}A_{1}^{1}A_{5}^{5}$种排法.故有$A_{6}^{6}+A_{5}^{1}A_{1}^{1}A_{5}^{5}=3720$(种)排法.
方法二(间接法)：无限制条件的排列方法共有$A_{7}^{7}$种，而甲在最左端，有$A_{6}^{6}$和排法，乙在最右端，同样有$A_{6}^{6}$种排法，甲在最左端且乙在最右端的排法有$A_{5}^{5}$种.故有$A_{7}^{7}-2A_{6}^{6}+A_{5}^{5}=3720$(种)排法.
方法三(位置分析法)：按最左端优先安排分步.
对于最左端除甲外有$A_{6}^{1}$种排法，余下六个位置全排列有$A_{6}^{6}$种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有$A_{1}^{1}A_{5}^{5}$种.故有$A_{6}^{1}A_{6}^{6}-A_{1}^{1}A_{5}^{5}=3720$(种)排法.
(4)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有$A_{3}^{3}$种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有$A_{4}^{4}$种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有$A_{2}^{2}$种排法.由分步乘法计数原理，共有$A_{3}^{3}A_{4}^{4}A_{2}^{2}=288$(种)排法.
(5)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有$A_{3}^{3}A_{5}^{5}=720$(种)排法.
(6)不相邻问题(插空法)：先排女生有$A_{4}^{4}$种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有$A_{5}^{3}$种排法，故有$A_{4}^{4}A_{5}^{3}=1440$(种)排法.
(7)对比
(6)，让女生抽空，有$A_{3}^{3}A_{4}^{4}=144$(种)排法.
(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，故有$A_{2}^{2}A_{5}^{2}A_{4}^{4}=960$(种)排法.
(9)方法一(原理法)：甲、乙、丙的相对位置确定时，第4，5，6，7位同学依次有4，5，6，7种站法，由分步乘法计数原理，共有$4 × 5 × 6 × 7 = 840$(种)排法.
方法二(除法)：甲、乙、丙的排列数为$A_{3}^{3}$，而7人的排列数为$A_{7}^{7}$，所求排法为$\frac{A_{7}^{7}}{A_{3}^{3}}=7 × 6 × 5 × 4 = 840$(种).
(10)直接分步完成，共有$A_{3}^{2}A_{4}^{4}=5040$(种)排法.