《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例2-3(2025·安徽黄山月考)$(x - y)^{10}$的展开式中二项式系数最大的项是 . 看$(a + b)^{n}$中$n$是奇数还是
偶数.

答案： [名师讲习]方法一：$(x - y)^{10}$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{10}^{k}x^{10 - k}(-y)^{k}(0\leq k\leq10$，偶数.若$n$是偶数，二项式$k\in N$).因为$(x - y)^{10}$的指数是偶数，所以二项式系数的最大值为$C_{10}^{5}=252$，此时$k = 5$，所系数最大的项为中间一
以二项式系数最大的项为$-252x^{5}y^{5}$.
方法二：$(x - y)^{10}$的展开式中有11项，中间一项$T_{6}$的二项式系数最大，$T_{6}=C_{10}^{5}x^{5}(-y)^{5}$
$=-252x^{5}y^{5}$.
[正确答案]$-252x^{5}y^{5}$

1. (2025·浙江湖州模拟)$(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^6$的展开式中第四项是(C)

A.$-20$
B.$20$
C.$-160$
D.$160$

答案： 1.C 解析：由题意得展开式的第 4 项是 $T_{3+1}=C_{8}^{3}(2\sqrt{x})^{3}· \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3}=-160$。

2. (多选题)(2025·江苏淮安模拟)已知$(\frac{1}{x^2}-2x)^n$的展开式共有$7$项,则(BCD)

A.$n=7$
B.展开式所有二项式系数的和为$64$
C.展开式的所有项的系数和为$1$
D.所有项的系数绝对值之和为$729$

答案： 2.BCD 解析：因为$\left(\frac{1}{x^{2}} - 2x\right)^{n}$的展开式共有 7 项，所以$n = 6$，所以 A 错误；
展开式中所有二项式系数的和为$2^{6}=64$，所以 B 正确；
在$\left(\frac{1}{x^{2}} - 2x\right)^{6}$中令$x = 1$，得$(-1)^{6}=1$，所以 C 正确；
因为$\left(\frac{1}{x^{2}} - 2x\right)^{6}$的系数呈正负交错排列，故$\left(\frac{1}{x^{2}} - 2x\right)^{6}$所有项的系数绝对值之和与$\left(\frac{1}{x^{2}} + 2x\right)^{6}$的系数之和相等，故在$\left(\frac{1}{x^{2}} + 2x\right)^{6}$中令$x = 1$，得$3^{6}=729$，所以 D 正确。

3. (全国卷Ⅰ)$(x+\frac{y^2}{x})(x+y)^5$的展开式中$x^3y^3$的系数为(C)

A.$5$
B.$10$
C.$15$
D.$20$

答案： 3.C 解析：因为$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x + y)^{5}=x(x + y)^{5}+\frac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$，$(x + y)^{5}$的通项为$C_{5}^{k}x^{5 - k}· y^{k}(k = 0,1,2,3,4,5)$，所以$x(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为$C_{5}^{3}=10$，$\frac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为$C_{5}^{1}=5$，所以$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为$10 + 5 = 15$。故选 C。

4. (2025·福建厦门模拟)已知$(\frac{x}{3}-\frac{2}{x})^8$的展开式中二项式系数最大的项的系数为$\frac{1120}{81}$。

答案： 4.$\frac{1120}{81}$ 解析：由已知可得$\left(\frac{x}{3}-\frac{2}{x}\right)^{8}$的展开式中二项式系数最大的项为第 5 项，第 5 项的系数为$C_{8}^{4}×\frac{1}{3^{4}}×(-2)^{4}=\frac{1120}{81}$。

5. (2025·河北保定检测)$2^{2025}$除以$7$的余数为1。

答案： 5.1 解析：因为$2^{2025}=8^{675}=(7 + 1)^{675}=C_{675}^{0}×7^{675}+C_{675}^{1}×7^{674}+·s +C_{675}^{674}×7 + C_{675}^{675}×1=7×(7^{674}+C_{675}^{1}×7^{673}+·s +C_{675}^{674}) + 1$，所以$2^{2025}$除以 7 的余数为 1。