《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·湖北襄阳模拟)已知随机变量 $ X \sim B(3,\frac{1}{3}) $，则 $ P(X \leq 1) = $(D)

A.$ \frac{7}{27} $
B.$ \frac{8}{27} $
C.$ \frac{4}{9} $
D.$ \frac{20}{27} $

答案： 1.D 解析：$P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)$
$=C_{3}^{1}(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^{} +C_{3}^{1}(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^{2} =\frac{20}{27}$.

2. (2025·山东潍坊模拟)有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中不放回地任取 2 件，若 $ X $ 表示取得次品的件数，则 $ P(X ＜ 2) = $(C)

A.$ \frac{7}{15} $
B.$ \frac{8}{15} $
C.$ \frac{14}{15} $
D.1

答案： 2.C 解析：由题意知$X$的所有可能取值为$0,1,2，X$服从超几何分布，则$P(X=0)=\frac{C_{7}^{7} }{C_{10}^{7} }=\frac{7}{15} ,P(X=1)=\frac{C_{7}^{1} C_{3}^{1} }{C_{10}^{2} }=\frac{7}{15}$，
所以$P(X＜2)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{7}{15} +\frac{7}{15} =\frac{14}{15} $

3. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为 $ \frac{3}{4} $，现有甲、乙、丙、丁 4 名患有该疾病的患者服用了这种药物，观察其中有多少名患者会被这种药物治愈。
(1) 这能否看成独立重复试验？
(2) 求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率；
(3) 求恰有 3 名患者被治愈的概率；
(4) 设有 $ X $ 名患者被治愈，求 $ X $ 的分布列。

答案： 3.解：
(1)由题意可知，每名患者被治愈的概率不会互相影响，所以构成独立重复试验，可以看成$4$次独立重复试验.
(2)由独立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率：$P=(\frac{3}{4} )^{3}×\frac{1}{4} =\frac{27}{256} $.
(3)恰有$3$名患者被治愈的概率：$P=C_{4}^{3} ×(\frac{3}{4} )^{3}×\frac{1}{4} =\frac{27}{64} $.
(4)根据题意可知$X=0,1,2,3,4$，则$X\sim B(4,\frac{3}{4} )$.
$P(X=0)=C_{4}^{0} (\frac{3}{4} )^{0}(\frac{1}{4} )^{4} =\frac{1}{256} $,
$P(X=1)=C_{4}^{1} (\frac{3}{4} )^{1}(\frac{1}{4} )^{3} =\frac{3}{64} $,
$P(X=2)=C_{4}^{2} (\frac{3}{4} )^{2}(\frac{1}{4} )^{2} =\frac{27}{128} $,
$P(X=3)=C_{4}^{3} (\frac{3}{4} )^{3}(\frac{1}{4} )^{1} =\frac{27}{64} $,
$P(X=4)=C_{4}^{4} (\frac{3}{4} )^{4}(\frac{1}{4} )^{0} =\frac{81}{256} $.
则$X$的分布列为
$\begin{array}{c|ccccc}X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline P &\displaystyle \frac{1}{256} &\displaystyle \frac{3}{64} &\displaystyle \frac{27}{128} &\displaystyle \frac{27}{64} &\displaystyle \frac{81}{256} \\\end{array}$