《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例2 - 1 (1)(2025·山东东营模拟)已知$C_{n}^{2}=15$，那么$A_{n}^{2}=$(B)
A.$20$
B.$30$
C.$42$
D.$72$

答案： [名师讲习]
(1)方法一(连乘形式)：由$C_{n}^{2}=\frac{n(n - 1)}{2}=15$，得$n^{2}-n - 30 = 0$，解得$n = 6$或$n = - 5$(舍去)，故$A_{n}^{2}=A_{6}^{2}=6×5 = 30$。
方法二(巧用$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$)：由$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$知，$A_{n}^{m}=C_{n}^{m}· A_{m}^{m}$，故$A_{n}^{2}=C_{n}^{2}· A_{2}^{2}=15×2 = 30$。
[正确答案]
(1)B

(2)(多选题)下列等式中，正确的有(ACD)
A.$A_{5}^{3}=C_{5}^{2}+50$
B.$C_{10}^{2}=90$
C.$A_{5}^{2}=C_{6}^{3}$
D.$A_{7}^{4}=C_{7}^{3}· A_{4}^{4}$

答案：
(2)$A_{5}^{3}=5×4×3 = 60$，$C_{5}^{2}=\frac{5×4}{2}=10$，$60 = 10 + 50$，A 正确；
$C_{10}^{2}=\frac{10×9}{2}=45$，B 错误；
$A_{5}^{2}=5×4 = 20$，$C_{6}^{3}=\frac{6×5×4}{3×2×1}=20$，C 正确；
$A_{7}^{4}=7×6×5×4 = 840$，$C_{7}^{3}· A_{4}^{4}=\frac{7×6×5}{3×2×1}×4×3×2×1 = 840$，D 正确。
[正确答案]
(2)ACD