《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 2 - 1 (多选题)(2025·广西南宁模拟) 以下关于正态密度曲线 $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}· e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}(x\in R)$ 的说法中正确的是 (BCD)

A.曲线都在 $x$ 轴的上方, 左右两侧与 $x$ 轴无限接近, 最终可与 $x$ 轴相交_____不与$x$轴相交.___
B.曲线关于直线 $x = \mu$ 对称
C.曲线呈现“中间高, 两边低”的钟形形状
D.曲线与 $x$ 轴之间的区域的面积为 1

答案： [名师讲习] 由正态密度曲线的特点, 易知 BCD 说法正确; 对于 A, 曲线与 $x$ 轴不相交, 故 A 错误. 故选 BCD.
[正确答案] BCD

例 2 - 2 (2025·辽宁沈阳模拟) 已知三条正态曲线 $f_i(x)=\frac{1}{\sigma_i\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}(x\in R,i = 1,2,3)$ 如图所示, 则下列判断正确的是 (D)


A.$\mu_1 ＜ \mu_2 = \mu_3,\sigma_1 = \sigma_2 ＞ \sigma_3$
B.$\mu_1 ＞ \mu_2 = \mu_3,\sigma_1 = \sigma_2 ＜ \sigma_3$
C.$\mu_1 = \mu_2 ＜ \mu_3,\sigma_1 ＜ \sigma_2 = \sigma_3$
D.$\mu_1 ＜ \mu_2 = \mu_3,\sigma_1 = \sigma_2 ＜ \sigma_3$

答案： [名师讲习] 由正态曲线关于直线 $x = \mu$ 对称, 知 $\mu_1 ＜ \mu_2 = \mu_3$. $\sigma$ 的大小决定曲线的形状, $\sigma$ 越大, 总体分布越分散, 曲线越“矮胖”; $\sigma$ 越小, 总体分布越集中, 曲线越“瘦高”, 则 $\sigma_1 = \sigma_2 ＜ \sigma_3$. (也可由 $f_1(\mu_1)=f_2(\mu_2) ＞ f_3(\mu_3)$, 得 $\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}} ＞ \frac{1}{\sigma_3\sqrt{2\pi}}$, 即 $\sigma_1 = \sigma_2 ＜ \sigma_3$)
[正确答案] D

例 2 - 3 (2025·山东临沂模拟) 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件, 产品的尺寸分别记为 $X,Y$, 已知 $X,Y$ 均服从正态分布, $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$, 其正态密度曲线如图所示, 则下列结论中正确的是 (A)


A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性_____期望值相同,“瘦高”时,$\sigma^2$小,稳定.___
B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

答案： [名师讲习] 由题图知甲、乙两条生产线的产品尺寸平均值相等, $X$ 的正态密度曲线更“瘦高”, 所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
[正确答案] A