《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

15. (2025·江苏扬州模拟)若 $(x - 2y)(\frac{1}{x} - y)^{5}$ 的展开式中含 $x^{m}y^{n}$ 的项满足 $m + n = 2$,则这些项的系数和为10.

答案： 15.10解析：$(\frac{1}{x} - y)^5 = C_{5}^0 \frac{1}{x^5} + C_{5}^1 · \frac{1}{x^4} · (-y)^1 + C_{5}^2 · \frac{1}{x^3} · (-y)^2 + C_{5}^3 · \frac{1}{x^2} · (-y)^3 + C_{5}^4 · \frac{1}{x} · (-y)^4 + C_{5}^5 (-y)^5 = \frac{1}{x^5} - \frac{5y}{x^4} + \frac{10y^2}{x^3} - \frac{10y^3}{x^2} + \frac{5y^4}{x} - y^5$，
因为$m + n = 2$，所以含$x^m y^n$的项为$x · (-\frac{10y^3}{x^2}) = -\frac{10y^3}{x}$，$-2y · (-\frac{10y^3}{x^2}) = \frac{20y^4}{x^2}$，
所以含$x^m y^n$的项的系数和为$-10 + 20 = 10$。

16. (2025·山东临沂模拟)已知多项式 $(x + 2)^{3}(x - 1)^{4} = a_{1}(x + 1)^{7} + a_{2}(x + 1)^{6} + ·s + a_{7}(x + 1) + a_{8}$,则 $a_{7} =$16.

答案： 16.16解析：令$t = x + 1$，则$(t + 1)^3 (t - 2)^4 = a_1 t^7 + a_2 t^6 + ·s + a_7 t + a_8$，
因为$(t + 1)^3$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{3}^r t^{3 - r}$，$r = 0,1,2,3$，
所以令$r = 2$，可得$(t + 1)^3$的展开式中的一次项为$C_{3}^2 t = 3t$，令$r = 3$，可得$(t + 1)^3$的展开式的常数项为$1$，因为$(t - 2)^4$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{4}^k t^{4 - k} (-2)^k$，$k = 0,1,2,3,4$，
所以令$k = 3$，可得$(t - 2)^4$的展开式中的一次项为$C_{4}^3 (-2)^3 t = -32t$，令$k = 4$，可得$(t - 2)^4$的展开式的常数项为$C_{4}^4 (-2)^4 = 16$，所以$a_7 = 16 × 3 + (-32) × 1 = 16$。

17. (2025·安徽蚌埠检测)已知 $(ax - \frac{1}{\sqrt{x}})^{n}(a \in R,n \in N^{*})$ 的展开式中,前三项的二项式系数之和为 16,所有项的系数之和为 1.
(1)求 $n$ 和 $a$ 的值.
(2)展开式中是否存在常数项? 若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由.
(3)求展开式中二项式系数最大的项.

答案： 17.解：
(1)由题意得，$C_{n}^0 + C_{n}^1 + C_{n}^2 = 16$，
即$1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} = 16$。
解得$n = 5$或$n = -6$(舍去)，
所以$n = 5$。
因为所有项的系数之和为$1$，令$x = 1$，
所以$(a - 1)^5 = 1$，解得$a = 2$。
(2)不存在。理由如下：
因为$(ax - \frac{1}{\sqrt{x}})^n = (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^5$，
所以$T_{k + 1} = C_{5}^k (2x)^{5 - k} (-\frac{1}{\sqrt{x}})^k = (-1)^k C_{5}^k 2^{5 - k} · x^{5 - \frac{3k}{2}}$ $(k \in N)$。
令$5 - \frac{3k}{2} = 0$，解得$k = \frac{10}{3} \notin N$，
所以展开式中不存在常数项。
(3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为$T_3 = (-1)^2 C_{5}^2 2^{5 - 2} x^{5 - 3} = 80x^2$，$T_4 = (-1)^3 C_{5}^3 2^{5 - 3} x^{5 - \frac{9}{2}} = -40x^{\frac{1}{2}}$。

18. (2025·河北衡水模拟)“杨辉三角”是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,“杨辉三角”中蕴藏了许多优美的规律,如图是一个 11 阶“杨辉三角”.

(1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数;
(2)在第 2 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15,在第 3 斜列中,第 5 个数为 35.显然,$1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$.事实上,一般地有这样的结论:第 $m - 1$ 斜列中(从右上到左下)前 $k$ 个数之和,一定等于第 $m$ 斜列中第 $k$ 个数.试用含有 $m,k(m,k \in N^{*})$ 的数学公式表示上述结论,并给予证明.

答案： 18.解：
(1)$C_{20}^3 = 1140$。
(2)$C_{m - 1}^{m} + C_{m - 1}^{m - 1} + ·s + C_{m + k - 2}^{m - k} = C_{m + k - 1}^{m}$ $(m,k \in N^{*})$。
证明如下：
左边$=C_{m}^m + C_{m}^m + ·s + C_{m + k - 2}^{m - 1}$
$=C_{m + 1}^m + C_{m + 1}^{m - 1} + ·s + C_{m + k - 2}^{m - 1}$
$=·s = C_{m + k - 2}^{m} + C_{m + k - 2}^{m - 1} = C_{m + k - 1}^m =$右边。