《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

5. (2023·新高考全国卷Ⅱ)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有()
A.$ C_{400}^{15} · C_{200}^{15} $ 种
B.$ C_{200}^{20} · C_{200}^{40} $ 种
C.$ C_{400}^{30} · C_{200}^{30} $ 种
D.$ C_{400}^{40} · C_{200}^{20} $ 种

答案： D

1. (2025·江苏盐城模拟)对于一个自然数,如果从左往右,每一位上的数字依次增大,则称自然数是“渐升数”，那么四位数的“渐升数”共有(A)

A.126 个
B.91 个
C.84 个
D.125 个

答案： 1.A 解析：在$1,2,3,·s ,9$中任取$4$个数，由于其大小关系确定，所以“渐升数”共有$C_{9}^{4}=126$(个).

2. (2025·江苏常州高二期末)$C_{2}^{2}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+·s +C_{10}^{2}=$(C)

A.55
B.120
C.165
D.220

答案： 2.C 解析：$C_{2}^{2}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+·s +C_{10}^{2}=C_{3}^{3}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+·s +C_{10}^{2}=·s =C_{10}^{3}+C_{10}^{2}=C_{11}^{3}=165$.

3. (2025·山东枣庄模拟)6 名同学被安排到 A,B,C 三个社区参加志愿者服务,每个社区安排 2 名同学,其中甲同学必须到 A 社区,乙和丙同学均不能到 C 社区,则不同的安排方法种数为(C)

A.5
B.6
C.9
D.12

答案： 3.C 解析：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙其中一人在A社区，则安排方法种数为$C_{2}^{1}C_{3}^{1}=6$；第二类，若乙与丙在B社区，则从剩下三人中选一人去A社区，另两人去C社区，安排方法种数为$C_{3}^{1}=3$.故不同的安排方法种数是$6+3=9$.故选C.

4. (2025·浙江台州模拟)从$\{ 1,2,3,·s,10\}$中选取三个不同的数,使得其中至少有两个数相邻,则不同的选法种数是(D)

A.72
B.70
C.66
D.64

答案： 4.D 解析：从$\{1,2,3,·s ,10\}$中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有$C_{2}^{1}· C_{7}^{1}+C_{6}^{1}· C_{7}^{1}=56$(种)选法，三个数相邻共有$C_{8}^{1}=8$(种)选法，故至少有两个数相邻共有$56 + 8 = 64$(种)选法.

5. (2025·北京石景山高三检测)已知集合$A=\{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\} \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\}$,若存在$a_{i},a_{j}∈A$,使得$\vert a_{i}-a_{j}\vert =1$,则集合 A 的个数为(B)

A.70
B.65
C.60
D.50

答案： 5.B 解析：$\because A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，即从集合$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$中的$8$个元素中任选$4$个组成集合$A$，共有$C_{8}^{4}=70$(个).
设$\forall a_{i},a_{j}\in A$，使得$\vert a_{i}-a_{j}\vert \neq 1$，则这样的集合有$\{1,3,5,7\}$，$\{1,3,5,8\}$，$\{1,3,6,8\}$，$\{1,4,6,8\}$，$\{2,4,6,8\}$，共计$5$个，
$\therefore$当集合$A$存在$a_{i},a_{j}\in A$，使得$\vert a_{i}-a_{j}\vert =1$时的个数为$70 - 5 = 65$.

6. (多选题)(2025·安徽黄山模拟)下列说法正确的有(AD)

A.空间中有 8 个点,其中任意 4 个点不共面,过每 3 个点作一个平面,可以作 56 个平面
B.平面内有 10 条直线,它们最多有 90 个交点
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 70 个
D.平面内有两组平行线,一组有 5 条,另一组有 4 条,这两组平行线相交,可以构成 60 个平行四边形

答案： 6.AD 解析：对于A，一个平面对应着从$8$个点中取出$3$点的一个组合，故可以作$C_{8}^{3}=56$(个)不同的平面，故A正确；
对于B，每一条直线都可以与另外的$9$条直线相交，最多就有$9$个交点，但都重复了一次，所以最多共有$9× 10÷ 2 = 45$(个)交点，故B不正确；
对于C，首先从$8$个顶点中选$4$个，共有$C_{8}^{4}$种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，$6$个表面有$6$四点共面，$6$个对角面有$6$个四点共面，所以满足条件的结果有$C_{8}^{4}-6 - 6 = 58$(个)，故C不正确；
对于D，先从一组$5$条平行线中任选$2$条作为平行四边形的一组对边，有$C_{5}^{2}$种取法，再从另一组$4$条平行线中任选$2$条作为平行四边形的另一组对边，有$C_{4}^{2}$种取法，所以可以构成$C_{5}^{2}C_{4}^{2}=60$(个)平行四边形，故D正确.

7. (2025·山东济南一模)将两个 1,两个 3,一个 5 排成一行,则不同的排法种数为30. (用数字作答)

答案： 7.30 解析：第一步选$2$个空给两个$1$有$C_{5}^{2}$种选法，第二步选剩下的$3$个空给两个$3$有$C_{3}^{2}$种选法，最后剩一个空排$5$即可.根据分步乘法计数原理有$C_{5}^{2}C_{3}^{2}=30$(种)排法.

8. (2025·山东日照检测)如图,湖面上有 4 个相邻的小岛 A,B,C,D,现要建 3 座桥梁,将这 4 个小岛连通起来,则建设方案有16种.

答案： 8.16 解析：由题意知要将$4$个相邻的小岛$A,B,C,D$连接起来，共有$C_{6}^{2}=6$(个)位置可以建设桥梁，从这$6$个位置中选$3$个建设桥梁，共有$C_{6}^{3}=20$(种)选法.
但选出的$3$个位置可能是仅连接$A,B$，或$C$或$A,B,D$或$A,C$，或$B,C,D$三个小岛，这$4$种情况不合题意.故要建$3$座桥梁将这$4$个小岛连接起来，共有$20 - 4 = 16$(种)不同的方案.

9. (2025·广东东莞检测)某社团共有学生 9 名,其中有 5 名男生和 4 名女生,现从中选出 4 人去参加一项创新大赛. (列式表明计算过程,结果用数字表示)
(1)如果 4 人中男生女生各选 2 人,那么有多少种选法?
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有多少种选法?
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内,那么有多少种选法?
(4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,那么有多少种选法?

答案： 9.解：
(1)如果4人中男生女生各选2人，有$C_{3}^{2}C_{4}^{2}=60$(种)选法.
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的$7$人中任选$2$人，有$C_{7}^{2}=21$(种)选法.
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有$1$人在内，共有$C_{9}^{4}-C_{7}^{4}=91$(种)选法.
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，先从$9$人中选$4$人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故有$C_{9}^{4}-C_{5}^{4}-C_{4}^{4}=120$(种)选法.