《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

18. (1) (2025·湖北黄冈模拟)$ 0.99^{10} $ 的第一位小数为 $ n_{1} $，第二位小数为 $ n_{2} $，第三位小数为 $ n_{3} $，则 $ n_{1},n_{2},n_{3} $ 分别为(A)
A.9，0，4
B.9，4，0
C.9，2，0
D.9，0，2

答案： 18.
(1)A 解析：$0.99^{10}=(1 - 0.01)^{10}=C_{10}^{0}× 1^{10}× (-0.01)^{0}+C_{10}^{1}× 1^{9}× (-0.01)^{1}+C_{10}^{2}× 1^{8}× (-0.01)^{2}+·s = 1 - 0.1 + 0.0045+·s\approx 0.9045$，故$n_{1}$，$n_{2}$，$n_{3}$分别为$9,0,4$。

(2) 求 $ 1.0035^{5} $ 精确到 $ 0.001 $ 的近似值。
先对底数进行分解，然后利用二项式定理展开，最后利用截项的方法进行估计。

答案：
(2)解：$1.003^{5}=(1 + 0.003)^{5}\approx 1 + 5× 0.003=1.015\approx 1.0175$。

19. (2025·河南驻马店模拟)已知 $ 3^{2025} $ 除以 13 所得余数为 $ m $，$ 3^{2025} $ 除以 14 所得余数为 $ n $，则 $ \frac{n}{m}= $(C)
$ 3^{2025}=27^{675} $，$ 27 = 26 + 1 = 28 - 1 $。

A.1
B.$ \frac{13}{12} $
C.13
D.14

答案： 19.C 解析：因为$3^{2025}=27^{675}=(26 + 1)^{675}=C_{675}^{0}26^{675}× 1^{0}+C_{675}^{1}26^{674}× 1^{1}+·s +C_{675}^{674}26^{1}× 1^{674}+C_{675}^{675}26^{0}× 1^{675}$，
所以$3^{2025}$除以$13$所得余数为$1$，则$m = 1$；
因为$3^{2025}=27^{675}=(28 - 1)^{675}=C_{675}^{0}28^{675}× (-1)^{0}+C_{675}^{1}28^{674}× (-1)^{1}+·s +C_{675}^{674}28× (-1)^{674}+C_{675}^{675}28^{0}× (-1)^{675}$，
所以$3^{2025}$除以$14$所得余数为$13$，因此$\frac{n}{m}=13$。

20. 求证：$ 3^{2n + 2}-8n - 9(n \in N^{*}) $ 能被 64 整除。
将式子展开化简，证明式子中的每一项都含有 64 这个因数即可。

答案： 20.证明：$\because 3^{2n + 2}-8n - 9 = 9^{n + 1}-8n - 9=(1 + 8)^{n + 1}-8n - 9$
$=C_{n + 1}^{0}+C_{n + 1}^{1}· 8 + C_{n + 1}^{2}· 8^{2}+C_{n + 1}^{3}· 8^{3}+·s +C_{n + 1}^{n + 1}· 8^{n + 1}-8n - 9$
$=1+(n + 1)· 8 + C_{n + 1}^{2}· 8^{2}+C_{n + 1}^{3}· 8^{3}+·s +C_{n + 1}^{n + 1}· 8^{n + 1}-8n - 9$
$=C_{n + 1}^{2}· 8^{2}+C_{n + 1}^{3}· 8^{3}+·s +C_{n + 1}^{n + 1}· 8^{n + 1}-8n - 9$
$=8^{2}(C_{n + 1}^{2}+C_{n + 1}^{3}· 8+·s +C_{n + 1}^{n + 1}· 8^{n - 2}+8^{n - 1})$，
又$C_{n + 1}^{2}+C_{n + 1}^{3}· 8+·s +C_{n + 1}^{n + 1}· 8^{n - 2}+8^{n - 1}$是整数，
$\therefore 3^{2n + 2}-8n - 9(n\in \mathbf{N}^{*})$能被$64$整除.

21. 求证：$ (C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+·s +(C_{n}^{n})^{2}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} $。
① 构造等式 $ (1 + x)^{n}(1 + x)^{n}=(1 + x)^{2n} $；
② 比较等号两边展开式中含 $ x^{n} $ 项的系数；
③ 得 $ (C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+·s +(C_{n}^{n})^{2}=C_{2n}^{n} $，即可证得。

答案： 21.证明：构造等式$(1 + x)^{n}(1 + x)^{n}=(1 + x)^{2n}$，$\because C_{n}^{m}$是二项式
$(1 + x)^{n}$中$x^{m}$的系数，$\therefore C_{n}^{m}$是$(1 + x)^{n}(1 + x)^{n}$中$x^{n}$的
系数。
若第一个因式取常数项$x^{0}$，系数为$C_{n}^{0}$，则第二个因式应
取$x^{n}$，系数为$C_{n}^{n}$，此时$x^{n}$的系数为$C_{n}^{0}C_{n}^{n}=(C_{n}^{0})^{2}·s·s$若
$x^{n}$取自第一个因式，其系数为$C_{n}^{n}$，$x^{n - n}$取自第二个因式，其
系数为$C_{n}^{n - n}$，此时$(1 + x)^{n}(1 + x)^{n}$的展开式中$x^{n}$的系数为
$C_{n}^{n}C_{n}^{n - n}=(C_{n}^{n})^{2}$，$\therefore (1 + x)^{n}(1 + x)^{n}$中的$x^{n}$的系数为
$C_{n}^{n}C_{n}^{0}+C_{n}^{n - 1}C_{n}^{1}+·s +C_{n}^{n - r}C_{n}^{r}+·s +C_{n}^{0}C_{n}^{n}=(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+·s +(C_{n}^{n})^{2}$。
$\therefore (C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+·s +(C_{n}^{n})^{2}=C_{2n}^{n}=\frac{(2n)!}{n!· n!}$。