《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

12. 如图,在正方形ABCD中,点E在边AB上,将点E绕点D逆时针旋转得到点F,若点F恰好落在边BC的延长线上,连接DE,DF,EF.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由；
(2)若EF= 4$\sqrt{2}$,则△DEF的面积为______.

答案： （1）$\triangle DEF$是等腰直角三角形.
证明：在正方形 $ABCD$ 中，$DA=DC$，$\angle ADC= \angle DAB=\angle DCB=90^{\circ}$.
$\because F$落在边$BC$的延长线上，
$\therefore \angle DCF=\angle DAB=90^{\circ}$.
$\because$将点$E$绕点$D$逆时针旋转得到点$F$，
$\therefore DE=DF$.
$\therefore Rt\triangle ADE\congRt\triangle CDF$.
$\therefore \angle ADE=\angle CDF$.
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDF+\angle EDC=90^{\circ}$，即$\angle EDF=90^{\circ}$.
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形.
（2）$\triangle DEF$的面积为8.

13. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 30°,AB= 4. 以斜边AB的中点D为旋转中心,把△ABC按逆时针方向旋转α角(0°＜α＜120°),当点A的对应点与点C重合时,B,C两点的对应点分别记为点E,F,EF与AB的交点为G.
(1)求角α的度数；
(2)求△DEG的面积.

答案： （1）$60^{\circ}$；（2）$\frac{\sqrt{3}}{2}$