《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

18. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 图象上的部分点的横坐标 $ x $,纵坐标 $ y $ 的对应值如下表：
| $ x $ | …$ $ | $ - 1 $ | $ - \frac { 1 } { 2 } $ | $ 0 $ | $ \frac { 1 } { 2 } $ | $ 1 $ | $ \frac { 3 } { 2 } $ | $ 2 $ | $ \frac { 5 } { 2 } $ | $ 3 $ | …$ $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ y $ | …$ $ | $ m $ | $ \frac { 7 } { 4 } $ | $ 3 $ | $ \frac { 15 } { 4 } $ | $ 4 $ | $ \frac { 15 } { 4 } $ | $ 3 $ | $ \frac { 7 } { 4 } $ | $ 0 $ | …$ $ |

根据以上信息回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是______,$ m $ 的值为______；
(2)求二次函数的表达式；
(3)当 $ k \leqslant x \leqslant k + 2 $ 时,二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的最小值是 $ 1 $,则 $ k $ 的值为______。

答案：
(1) (1，4)；0；
(2) y=-(x-1)²+4；
(3) 1-√3或-1+√3

19. 在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,点 $ ( 1, m ) $ 和点 $ ( 3, n ) $ 在二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x $ 的图象上。
(1)当 $ m = - 3 $ 时。
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点 $ ( - 1, y _ { 1 } ) $,$ ( a, y _ { 2 } ) $ 在二次函数的图象上,且 $ y _ { 2 } ＞ y _ { 1 } $,则 $ a $ 的取值范围是______；
(2)当 $ m n ＜ 0 $ 时,求 $ b $ 的取值范围。

答案：
(1) ①(2，-4)； ②a＜-1或a＞5；
(2) -3＜b＜-1