《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,以$BC为边作等边\triangle BCD$,把$\triangle ABD绕着点D按顺时针方向旋转60^{\circ}后得到\triangle ECD$. 若$AB = 3$,$AC = 2$.
(1)求证：点$A$,$C$,$E$在同一条直线上；
(2)求$\angle BAD$的度数；
(3)求$AD$的长.

答案：
（1）证明：$\because\triangle BCD$为等边三角形，
$\therefore\angle 3=\angle 4=60°$，$DC=DB$.
$\because\triangle ABD$绕着点$D$按顺时针方向旋转$60°$后到$\triangle ECD$，
$\therefore\angle 5=\angle ABD=\angle 1+\angle 4=\angle 1+60°$.
$\therefore\angle 2+\angle 3+\angle 5=\angle 2+60°+(\angle 1+60°)=\angle 2+\angle 1+120°$.
$\because\angle BAC=120°$，
$\therefore\angle 1+\angle 2=180°-\angle BAC=60°$.
$\therefore\angle 2+\angle 3+\angle 5=60°+120°=180°$.
$\therefore$点$A$，$C$，$E$在同一条直线上.

（2）解：$\because$点$A$，$C$，$E$在同一条直线上，
而$\triangle ABD$绕着点$D$按顺时针方向旋转$60°$后得到$\triangle ECD$，
$\therefore\angle ADE=60°$，$DA=DE$.
$\therefore\triangle ADE$为等边三角形.
$\therefore\angle DAE=60°$.
$\therefore\angle BAD=\angle BAC-\angle DAE=120°-60°=60°$.
（3）解：$\because$点$A$，$C$，$E$在同一条直线上，
$\therefore AE=AC+CE$.
$\because\triangle ABD$绕着点$D$按顺时针方向旋转$60°$后得到$\triangle ECD$，
$\therefore CE=AB$.
$\therefore AE=AC+AB=2+3=5$.
$\because\triangle ADE$为等边三角形，
$\therefore AD=AE=5$.

9. 如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$,$E$,$F分别在\triangle ABC$的三条边上,四边形$DECF$是正方形.
(1)图2中,$DA = DA'$,图1经过怎样的旋转变换形成图2？
(2)当$AD = 5$,$BD = 6$时,设$\triangle ADE的面积为S_{1}$,$\triangle BDF的面积为S_{2}$,求$S_{1} + S_{2}$.

答案： 解：（1）将$\triangle ADE$绕点$D$逆时针旋转$90°$形成图2.
（2）由旋转可知$\triangle A'DF\cong\triangle ADE$，
$\therefore A'D=AD=5$，$\angle A'DF=\angle ADE$.
$\because$四边形$DECF$是正方形，
$\therefore\angle EDF=90°$.
$\therefore\angle ADE+\angle BDF=90°$.
$\therefore\angle A'DB=\angle A'DF+\angle BDF=90°$.
则$S_{\triangle A'DB}=\frac{1}{2}BD\cdot A'D=\frac{1}{2}×6×5=15$.
$\therefore S_1+S_2=15$.