《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

10. 已知二次函数 $ y = x^{2} + 2x $。
(1) 求二次函数的图象的顶点坐标；
(2) 在平面直角坐标系中,画出该函数的图象；
(3) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(4) 当 $ - 3 ＜ x ＜ 0 $ 时,观察图象,直接写出函数值 $ y $ 的取值范围。

答案：
解：
(1)$\because y=x^{2}+2x=(x^{2}+2x + 1)-1=(x + 1)^{2}-1$，$\therefore$二次函数的图象的顶点坐标为$(-1,-1)$；
(2)
(3)当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
(4)$-1\leqslant y＜3$.

11. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} + 4x - 6 $。
(1) 将其转化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式；
(2) 写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 求函数图象与两坐标轴的交点坐标；
(4) 画出函数图象；
(5) 说明其图象与抛物线 $ y = 2x^{2} $ 的关系；
(6) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(7) 当 $ x $ 取何值时,函数值 $ y ＞ 0 $,$ y = 0 $,$ y ＜ 0 $？
(8) 当 $ x $ 取何值时,函数 $ y $ 有最值？其最值是多少？
(9) 当 $ - 4 ＜ x ＜ 0 $ 时,求 $ y $ 的取值范围；
(10) 求函数图象与两坐标轴的交点所形成的三角形的面积。

答案：
(1)$y=2(x + 1)^{2}-8$；
(2)开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标$(-1,-8)$；
(3)与$x$轴的交点为$(-3,0)$，$(1,0)$，与$y$轴的交点为$(0,-6)$；
(4)图略；
(5)将抛物线$y=2x^{2}$向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到$y=2x^{2}+4x - 6$的图象；
(6)$x＜-1$；
(7)当$x＜-3$或$x＞1$时，$y＞0$；当$x=-3$或$x=1$时，$y=0$；当$-3＜x＜1$时，$y＜0$；
(8)当$x=-1$时，函数$y$有最小值，$y_{最小值}=-8$；
(9)$-8\leqslant y＜10$；
(10)12.