《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

10. 如图,$Rt\triangle ABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle BDE$,其中 $\angle ABD = \angle ACB = \angle BED = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$DE = 5$,则 $OC$ 的长为______.

答案： $4\sqrt{2}$

11. 在 $\triangle ACB$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,以点 $A$ 为旋转中心,分别将线段 $AB$,$AC$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $AD$,$AE$,连接 $DE$,延长 $DE$ 交 $CB$ 于点 $F$.
(1) 如图 $1$,若 $\angle B = 30^{\circ}$,则 $\angle CFE$ 的度数为______；
(2) 如图 $2$,当 $30^{\circ}＜\angle B＜60^{\circ}$ 时,
① 依题意补全图 $2$；
② 猜想 $CF$ 与 $AC$ 的数量关系,并证明.

答案：

(1)120°；
(2)①如图；
②$CF=\frac{\sqrt{3}}{3}AC$.
证明：连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB.
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC.
∴∠AED=∠C=90°.
∴∠AEF=90°.
∴Rt△AEF≌Rt△ACF.
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠CAE=30°.
在Rt△ACF中，CF=$\frac{1}{2}$AF，且$AC^{2}+CF^{2}=AF^{2}$，
∴$AC=\sqrt{AF^{2}-CF^{2}}=\sqrt{3}CF$.
∴$CF=\frac{\sqrt{3}}{3}AC$.

12. 如图,将四边形 $ABCD$ 沿着对边中点所连线段 $EG$,$FH$ 剪成四块,你能用这四块图形拼成一个平行四边形吗？画出拼接的示意图.

答案：
能拼成一个平行四边形，如图.