《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

20. 在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,抛物线 $ C _ { 1 } : y = x ^ { 2 } + b x + c $ 经过点 $ A ( 2, - 3 ) $,且与 $ x $ 轴的一个交点为 $ B ( 3, 0 ) $。
(1)求抛物线 $ C _ { 1 } $ 的表达式；
(2)点 $ D $ 是抛物线 $ C _ { 1 } $ 与 $ x $ 轴的另一个交点,点 $ E $ 的坐标为 $ ( m, 0 ) $,其中 $ m ＞ 0 $,$ \triangle A D E $ 的面积为 $ \frac { 21 } { 4 } $。
①求 $ m $ 的值；
②将抛物线 $ C _ { 1 } $ 向上平移 $ n $ 个单位长度,得到抛物线 $ C _ { 2 } $。若当 $ 0 \leqslant x \leqslant m $ 时,抛物线 $ C _ { 2 } $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点,结合函数的图象,求 $ n $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)
∵抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A(2,-3),且与x轴的一个交点为B(3，0)，
∴{2²+2b+c=-3，
{3²+3b+c=0.
解得{b=-2，
{c=-3.
∴抛物线C₁的表达式为y=x²-2x-3.
(2) ①过点A作AF⊥x轴于点F，如图1所示.
∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4，
∴抛物线C₁的对称轴为直线x=1.
∴点D的坐标为(-1，0).
∵点E的坐标为(m，0)，且m＞0，
S△ADE=1/2 DE·AF=1/2 DE×3=21/4，
∴DE=7/2.
∴m=OE=DE-OD=5/2.
②设抛物线C₂的表达式为y=(x-1)²-4+n.
情况一：如图2所示.
当抛物线C₂经过点E(5/2，0)时，
(5/2-1)²-4+n=0，解得n=7/4；
当抛物线C₂经过原点(0,0)时，
(0-1)²-4+n=0，解得n=3；
∵当0≤x≤5/2时，抛物线C₂与x轴只有一个公共点，
∴结合图象可知，当7/4≤n＜3时，符合题意.
情况二：如图2所示.
当方程0=(x-1)²-4+n的△=0时，抛物线C₂与x轴只有一个公共点.
△=(-2)²-4×(n-3)=0.
解得n=4.
综上所述，n的取值范围是7/4≤n＜3或n=4.