《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

8. 如图,有一块矩形硬纸板,长 30 cm,宽 20 cm. 在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子. 当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的底面积为 $ 200 cm^2 $？

答案： 解：设剪去的小正方形的边长为x cm，
则根据题意有(30-2x)(20-2x)=200，解得x₁=5，x₂=20.
∵20-2x＞0，
∴x=5.
答：当剪去小正方形的边长为5 cm时，长方体盒子的底面积为200 cm².

9. 为响应全民阅读活动,某校利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计,第一个月进馆 128 人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆 608 人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次. 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.

答案： （1）设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得128+128(1+x)+128(1+x)²=608，
化简，得4x²+12x-7=0，
∴(2x-1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5(舍).
答：进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）
∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为128×(1+50%)³=128×27/8=432＜500.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.