《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

13. 如图,$ AB $ 为 $\odot O$ 的直径,$ CD $ 是弦,且 $ AB \perp CD $ 于点 $ E $,连接 $ AC $,$ BC $.
(1)求证：$\angle CAB = \angle BCD$；
(2)若 $ BE = 1 $,$ CD = 6 $,求 $\odot O$ 的半径.

答案：
（1）证明：
∵$AB$为$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$\angle CAB = \angle BCD$.
（2）解：连接$CO$.

∵$AB$为$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$于点$E$,
∴$CE = \frac{1}{2}CD = 3$.
在$Rt\triangle COE$中，$OC^2 = CE^2 + OE^2$,
即$r^2 = 3^2 + (r - 1)^2$,
解得$r = 5$.

14. 如图,$ AB $ 是 $\odot O$ 的直径,弦 $ CD \perp AB $ 于点 $ E $,$ F $ 是 $\odot O$ 上一点,$ D $ 是 $\overset{\frown}{BF}$ 的中点,连接 $ CF $ 交 $ OB $ 于点 $ G $,连接 $ BC $.
(1)求证：$ GE = BE $；
(2)若 $ AG = 6 $,$ BG = 4 $,求 $ CD $ 的长.

答案： （1）证明：
∵$D$是$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\angle BCD = \angle DCF$.
∵弦$CD⊥AB$于点$E$,
∴$\angle CEG = \angle CEB = 90°$.
在$\triangle CEG$和$\triangle CEB$中
$\begin{cases}\angle DCF = \angle BCD, \\CE = CE, \\\angle CEG = \angle CEB,\end{cases}$
∴$\triangle CEG\cong\triangle CEB$.
∴$GE = BE$.
（2）解：连接$OD$.
∵$BG = 4$, $GE = BE$,
∴$EB = 2$.
∵$AG = 6$, $BG = 4$,
∴$AB = 10$.
∴$OD = OB = \frac{1}{2}AB = 5$.
∴$OE = 5 - 2 = 3$.
∵$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$于点$E$,
∴$\angle OED = 90°$, $CD = 2ED$.
∴$ED = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
∴$CD = 2ED = 8$.