《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

8. 为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长 $ 25 m $)的空地上修建一个矩形小花园 $ ABCD $,小花园一边靠墙,另三边用总长 $ 40 m $ 的栅栏围住,如图所示. 设矩形小花园 $ AB $ 边的长为 $ x m $,面积为 $ y m^{2} $.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)当 $ x $ 为何值时,小花园的面积最大？最大面积是多少？

答案： 解：（1）$y = x(40 - 2x)= -2x^{2}+40x$（$7.5 \leqslant x ＜ 20$）.
（2）
∵ $y = -2(x - 10)^{2}+200$，
∴ 当 $x = 10$ 时，
$y_{最大} = 200$.
答：当 x 为 10 时，小花园面积最大，最大面积为 $200m^{2}$.

9. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下的水面在正常水位时, $ AB $ 宽 $ 20 m $,水位上升到警戒线 $ CD $ 时, $ CD $ 到拱桥顶 $ O $ 的距离为 $ 1 m $,这时水面宽度为 $ 10 m $.

(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时,水位以每小时 $ 0.3 m $ 的速度上升,从正常水位开始,经过多少小时到达警戒线？

答案：
解：（1）设 $y = ax^{2}$.
∵ $CD = 10m$，CD 到拱桥顶 O 的距离为 $1m$，

∴ $C(-5,-1)$，代入 $y = ax^{2}$，得 $a = -\dfrac{1}{25}$，
故 $y = -\dfrac{1}{25}x^{2}$；
（2）
∵ AB 宽 $20m$，
∴ 可设 $A(-10,b)$.
代入 $y = -\dfrac{1}{25}x^{2}$ 中，解得 $b = -4$，
∴ 点 A 的坐标为（-10，-4）.
设 CD 与 y 轴交于点 E，则 $E(0,-1)$，
设 AB 与 y 轴交于点 F，则 $F(0,-4)$，
∴ $EF = 3m$.
∵ 水位以每小时 $0.3m$ 的速度上升，
∴ $3÷0.3 = 10h$.
答：从正常水位开始，经过 10 小时到达警戒线.