《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

22. 在探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,观察分析图象特征,概括函数性质的过程. 以下是我们研究函数$y_1 = 2x + |x - 1|$性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.
| $x$ | …$$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | …$$ |
| $y_1$ | …$$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $a$ | $0$ | $1$ | $2$ | $b$ | $8$ | …$$ |
(1)写出表格中$a$,$b$的值：$a = $______,$b = $______；
(2)根据表格中的数据,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数$y_2 = x^2 - 1$的图象如图所示,函数$y_1$,$y_2的图象交点为点A$,点$B$,$x_A ＜ x_B$. 判断在$y轴上是否存在一点P$,使$|PB - PA|$的值最大？若存在,求出这个最大值及点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：

(1)将x=-2代入y₁=2x+|x-1|得，y₁=2×(-2)+|-2-1|=-4+3=-1，
∴a=-1.
将x=2代入y₁=2x+|x-1|得，y₁=2×2+|2-1|=4+1=5，
∴b=5.
(2)
(3)存在，理由：
y₁=2x+|x-1|=$\begin{cases} 3x-1,x≥1 \\ x+1,x＜1 \end{cases}$.
联立直线y₁=x+1与y₂=x²-1，解得A(-1，0)；
联立直线y₁=3x-1与y₂=x²-1，解得B(3，8).
如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'A并延长交y轴于点P，则B'(-3，8).
∵|PB'-PA|≤B'A，
∴当B'，A，P三点共线时，|PB-PA|的值最大，即为B'A的长度.
∴B'A=2$\sqrt{17}$.
求得直线B'A的解析式为y=-4x-4.
∴点P(0，-4).