《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

1. 二次函数$ y = a(x - h)^2 + k(a \neq 0) $的对称轴为____,顶点坐标为____,当$ x = $____时,$ y $有最值____；若$ a ＞ 0 $,则当$ x $____时,$ y 随 x $的增大而减小。

答案： 直线x=h；(h，k)；h；k；＜h.

2. 填表。
|函数表达式|开口方向|对称轴|顶点坐标|
|$ y = (x - 2)^2 - 3 $||||
|$ y = -(x + 3)^2 + 2 $||||
|$ y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 - 5 $||||
|$ y = \frac{1}{3}(x - \frac{5}{2})^2 + 1 $||||
|$ y = 3(x - 2)^2 $||||
|$ y = -3x^2 + 2 $||||

答案： 函数表达式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=(x-2)²-3
向上
直线x=2
(2,-3)
y=-(x+3)²+2
向下
直线x=-3
(-3,2)
$y=-\dfrac{1}{2}(x+5)²-5$
向下
直线x=-5
(-5,-5)
$y=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{5}{2})²+1$
向上
直线$x=\dfrac{5}{2}$
$(\dfrac{5}{2},1)$
y=3(x-2)²
向上
直线x=2
(2,0)

3. 归纳与总结：二次函数$ y = a(x - h)^2 + k $的图象和性质。
| $ y = a(x - h)^2 + k $ | $ a ＞ 0 $ | $ a ＜ 0 $ |
| | $ h ＞ 0 $,$ k ＞ 0 $ | $ h ＜ 0 $,$ k ＜ 0 $ | $ h ＞ 0 $,$ k ＜ 0 $ | $ h ＜ 0 $,$ k ＞ 0 $ |
| 图象(示意图) | | | | |
| 开口 | 方向 | | |
| | 大小 | | |
| 对称性 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 增减性 | | |

答案：
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | | $a＜0$ | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | $h＞0,k＞0$ | $h＜0,k＜0$ | $h＞0,k＜0$ | $h＜0,k＞0$ |
| 图象(示意图) | 开口向上，顶点在第一象限 | 开口向上，顶点在第三象限 | 开口向下，顶点在第四象限 | 开口向下，顶点在第二象限 |
| 开口 | 方向 | 向上 | 向上 | 向下 | 向下 |
| | 大小 | 由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小 | 由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小 | 由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小 | 由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小 |
| 对称性 | 关于直线$x=h$对称 | 关于直线$x=h$对称 | 关于直线$x=h$对称 | 关于直线$x=h$对称 |
| 顶点坐标 | $(h,k)$ | $(h,k)$ | $(h,k)$ | $(h,k)$ |
| 增减性 | $x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大 | $x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大 | $x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小 | $x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小 |