《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

13. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,$ \angle ACB = 30^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ 15^{\circ} $ 后得到 $ \triangle AB_1C_1 $,$ B_1C_1 $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,如果 $ AD = 2\sqrt{2} $,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： 6+2$\sqrt{3}$.

14. 如图,在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在线段 $ BC $ 的延长线上,连接 $ AD $,将线段 $ AD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ AE $,连接 $ CE $,射线 $ BA $ 与 $ CE $ 相交于点 $ F $.
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段 $ BD $ 与 $ CE $ 的数量关系和位置关系,并证明；
(3)若 $ F $ 为 $ CE $ 中点,$ AB = \sqrt{2} $,则 $ CE $ 的长为______.

答案：
（1）依题意补全图形如图； （2）线段BD与CE的数量关系是：BD=CE；位置关系是：BD⊥CE. 证明：在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠B=∠1=45°.
∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠2=∠B=45°.
∴∠BCE=∠1+∠2=90°.
∴BD⊥CE. （3）4.