《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

10. 当 $ t $______ 时,关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3x+t = 0 $ 没有实数根.

答案： $ ＞ \dfrac{9}{4} $

11. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+2x-3 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ a $ 的取值范围是______.

答案： $ a ＞ -\dfrac{1}{3} $且$ a \neq 0 $

12. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x-m = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的最小整数值是______.

答案： 0

13. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x+2m-1 = 0 $ 有实数根,且 $ m $ 为正整数,求 $ m $ 的值及此时方程的根.

答案： 解：$ \because $关于$ x $的一元二次方程$ x^{2} - 2x + 2m - 1 = 0 $有实数根，$ \therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 1 × (2m - 1) = 4 - 8m + 4 = 8 - 8m \geqslant 0 $，$ \therefore m \leqslant 1 $.又$ \because m $为正整数，$ \therefore m = 1 $，此时方程为$ x^{2} - 2x + 1 = 0 $，解得根为$ x_{1} = x_{2} = 1 $.

14. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(k + 3)x+2k + 2 = 0 $.
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一根小于 $ 1 $,求 $ k $ 的取值范围.

答案： （1）证明：$ \because \Delta = [-(k + 3)]^{2} - 4 × 1 × (2k + 2) = k^{2} - 2k + 1 = (k - 1)^{2} \geqslant 0 $，$ \therefore $方程总有两个实数根.（2）$ \because x = \dfrac{k + 3 \pm (k - 1)}{2} $，$ \therefore x_{1} = \dfrac{k + 3 + k - 1}{2} = k + 1 $，$ x_{2} = \dfrac{k + 3 - k + 1}{2} = 2 $.$ \therefore x_{1} = k + 1 $，$ x_{2} = 2 $.$ \because $方程有一个根小于1，$ \therefore k + 1 ＜ 1 $.$ \therefore k ＜ 0 $，即$ k $的取值范围为$ k ＜ 0 $.