《2025年学习探究诊断九年级数学上册人教版》

20. 已知$P(-3,m)和Q(1,m)是二次函数y = 2x^2 + bx + 1$的图象上的两个点.
(1)求$b$的值；
(2)判断关于$x的一元二次方程2x^2 + bx + 1 = 0$是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由；
(3)将二次函数$y = 2x^2 + bx + 1的图象向上平移k$($k$是正整数)个单位长度,使平移后的图象与$x$轴无公共点,求$k$的最小值.

答案：
(1)
∵点P，Q在抛物线上且纵坐标相同，
∴P，Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.
∴抛物线的对称轴为直线x=$-\frac{b}{4}$=$\frac{-3+1}{2}$.
∴b=4.
(2)由
(1)可知，关于x的一元二次方程为2x²+4x+1=0.
Δ=b²-4ac=16-8=8＞0，
∴方程有两个不同的实数根，分别是
x₁=$\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}$=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)由
(1)可知，二次函数y=2x²+4x+1的图象向上平移k(k是正整数)个单位长度后的表达式为y=2x²+4x+1+k.
若平移后的二次函数y=2x²+4x+1+k的图象与x轴无交点，
那么方程2x²+4x+1+k=0无实数解.
由Δ=b²-4ac=16-8(1+k)=8-8k＜0，可得k＞1.
又
∵k是正整数，
∴k的最小值为2.

21. 已知函数$y = x^2 + bx + c(x \geq 0)满足当x = 1$时,$y = -1$,且$x = 0与x = 4$的函数值相等.
(1)求函数$y = x^2 + bx + c(x \geq 0)$的表达式,并画出它的图象(不要求列表)；
(2)用$f(x)表示自变量x$相对应的函数值,且$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x \geq 0, \\ -2, & x ＜ 0, \end{cases} 若关于x的方程f(x) = x + k$有三个不相等的实数根,请结合函数图象直接写出实数$k$的取值范围.

答案：
(1)y=x²-4x+2，图略；
(2)-2＜k≤2.