《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

4. 某块地的平面图如图所示,$\angle A = 90^{\circ}$,其比例尺为1：2 000,根据图中标注的尺寸(单位：cm),求该块地的实际周长和面积.

答案： 1. 首先求图上周长：
图上周长$C_{图}=3 + 4+12 + 13=32(cm)$。
因为比例尺$k=\frac{1}{2000}$，设实际周长为$C_{实}$，根据$k = \frac{C_{图}}{C_{实}}$，则$C_{实}=C_{图}÷ k$。
所以$C_{实}=32÷\frac{1}{2000}=32×2000 = 64000(cm)=640(m)$。
2. 然后求图上面积：
连接$BD$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$，已知$AB = 3cm$，$AD = 4cm$，则$BD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5(cm)$。
对于$\triangle BCD$，已知$BD = 5cm$，$BC = 13cm$，$CD = 12cm$，因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169=13^{2}$，即$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，所以$\triangle BCD$是直角三角形，$\angle BDC = 90^{\circ}$。
图上面积$S_{图}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×3×4 = 6(cm^{2})$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}× BD× CD=\frac{1}{2}×5×12 = 30(cm^{2})$。
所以$S_{图}=6 + 30=36(cm^{2})$。
设实际面积为$S_{实}$，因为比例尺$k=\frac{1}{2000}$，根据$k^{2}=\frac{S_{图}}{S_{实}}$，则$S_{实}=S_{图}÷ k^{2}$。
所以$S_{实}=36÷(\frac{1}{2000})^{2}=36×2000^{2}=36×4000000 = 144000000(cm^{2})=14400(m^{2})$。
答：该块地的实际周长是$640m$，实际面积是$14400m^{2}$。

5. 如图,把矩形$ABCD$对折,折痕为$MN$,矩形$DMNC与矩形ABCD$相似,已知$AB = 4$.
(1) 求$AD$的长.
(2) 求矩形$DMNC与矩形ABCD$的相似比.

答案： 5.
(1)$4\sqrt {2}$
(2)$\frac {\sqrt {2}}{2}$

6. 如图,四边形$ABCD \backsim四边形EFGH$,连接相应的对角线$AC$,$EG$.
(1) 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle EFG$.
(2) 若$\frac{AC}{EG} = \frac{1}{2}$,则四边形$ABCD与四边形EFGH$的面积比为$\frac{1}{4}$.

6.（1）证明：
∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，
$\therefore \frac {BA}{FE}=\frac {BC}{FG}$,$\angle B=\angle F$,
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EFG$.
(2)$\frac {1}{4}$

答案： 6.（1）证明：
∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，
$\therefore \frac {BA}{FE}=\frac {BC}{FG}$,$\angle B=\angle F$,
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EFG$.
(2)$\frac {1}{4}$