《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

3. 如图,$\triangle ABC的顶点坐标为A(-2, 3)$,$B(-3, 1)$,$C(-1, 2)$,以坐标原点$O$为旋转中心,顺时针旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle A'B'C'$,$A'$,$B'$,$C'分别是点A$,$B$,$C$的对应点。

(1)求过点$B'$的反比例函数的表达式。
(2)求线段$CC'$的长。

答案： 3.
(1)过点$B'$的反比例函数的表达式为$y=\frac {3}{x}$.
(2)$CC'=\sqrt {10}$

4. 如图,$Rt\triangle ABO的顶点O$在坐标原点,点$B在x$轴上,$\angle ABO = 90^{\circ}$,$\angle AOB = 30^{\circ}$,$OB = 2\sqrt{3}$,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)的图像经过OA的中点C$,交$AB于点D$。
(1)求反比例函数的关系式。
(2)连接$CD$,求四边形$CDBO$的面积。

答案：
4.解:
(1)$\because ∠ABO=90^{\circ },∠AOB=30^{\circ },OB=2\sqrt {3}$
$\therefore AB=\tan∠AOB\cdot OB=\frac {\sqrt {3}}{3}OB=2$.
如图,作$CE⊥OB$于点E.
$\because CE// AB,OC=AC$
$\therefore OE=BE=\frac {1}{2}OB=\sqrt {3},CE=\frac {1}{2}AB=1$
$\therefore$点C的坐标为$(\sqrt {3},1)$.
$\because$反比例函数$y=\frac {k}{x}(x＞0)$的图像经过点C
$\therefore 1=\frac {k}{\sqrt {3}}$,即$k=\sqrt {3}$
$\therefore$反比例函数的关系式为$y=\frac {\sqrt {3}}{x}$.
(2)$\because OB=2\sqrt {3}$
$\therefore$点D的横坐标为$2\sqrt {3}$,代入$y=\frac {\sqrt {3}}{x}$,得$y=\frac {1}{2}$
$\therefore$点D的坐标为$(2\sqrt {3},\frac {1}{2})$.
$\because AB=2,BD=\frac {1}{2}$
$\therefore AD=\frac {3}{2}$.
$\therefore S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}AD\cdot BE=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}\sqrt {3}=\frac {3\sqrt {3}}{4}$
$\therefore S_{四边形CDBO}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}OB\cdot AB-\frac {3\sqrt {3}}{4}=\frac {1}{2}×2\sqrt {3}×2-\frac {3\sqrt {3}}{4}=\frac {5\sqrt {3}}{4}$.