《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

6. 如果在一个矩形 $ABCD(AB\lt BC)$ 中,$\frac{AB}{BC}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,那么称这个矩形为黄金矩形,黄金矩形给人以美感。如果在黄金矩形 $ABCD$ 内作正方形 $CDEF$,还可得到一个小矩形 $ABFE$(如图),那么矩形 $ABFE$ 是不是黄金矩形？请说明你的结论的正确性。

答案： 6.解:矩形$ABFE$是黄金矩形.
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,设$AB=(\sqrt{5}-1)k$,
则$BC=2k,FC=CD=AB,$
$BF=BC-FC$
$=BC-AB$
$=2k-(\sqrt{5}-1)k$
$=(3-\sqrt{5})k$,
$\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{(3-\sqrt{5})k}{(\sqrt{5}-1)k}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},$
$\therefore$矩形$ABFE$是黄金矩形.

1. 填空题.
(1)如图,$AD// BE// CF$,直线$l_{1}$,$l_{2}与这三条平行线分别交于点A$,$B$,$C和点D$,$E$,$F$。若$\frac{AB}{BC}= \frac{2}{3}$,$DE = 6$,则$EF= $9。

(2)如图,$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,若$BC = 3$,$\frac{DE}{EF}= 2$,则$AB= $6。

(3)如图,已知$AB// CD// EF$,$AC:CE = 2:3$,$BF = 15$,那么$BD= $6。

(4)如图,在$\triangle ABC$中,$D为AC$上一点,且$\frac{CD}{AD}= \frac{1}{2}$,过点$D作DE// BC$,交$AB于点E$,连接$CE$,过点$D作DF// CE$,交$AB于点F$。若$AB = 15$,则$EF= $$\frac{10}{3}$。

答案： 1.
(1)9
(2)6
(3)6
(4)$\frac{10}{3}$