《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

5. 在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧 $ A $,$ B $ 两个凉亭之间的距离。如图,现测得 $ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle A = 15^{\circ} $,$ AC = 200 $ m,请计算 $ A $,$ B $ 两个凉亭之间的距离。(结果精确到 $ 1 $ m)
(参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $,$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)

答案：
解:如图，过点A作$AD\perp BC$，交BC的延长线于点D,

$\because \angle B=30°$,$\therefore \angle BAD=60°$.
又$\because \angle BAC=15°$,$\therefore \angle CAD=45°$.
在$Rt\triangle ACD$中,$AC=200\ m$,
$\therefore AD=AC\cdot\cos\angle CAD=200×\frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}(m)$.
$\therefore AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{100\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=200\sqrt{2}\approx283(m)$.
答:A，B两个凉亭之间的距离约为283m.

1. 填空题。
(1)$\cos^{2}45^{\circ}+\tan30^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}=$1。
(2)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5$,$AC = 3$,则$\cos A= $$\frac{3}{5}$,$\sin B= $$\frac{3}{5}$,$\tan B= $$\frac{3}{4}$。
(3)如果方程$x^{2}-4x + 3 = 0的两个根分别是Rt\triangle ABC$的两条边的长,且$\triangle ABC中最小的角为\angle A$,那么$\tan A$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(4)一人乘雪橇沿坡比为$1:\sqrt{3}$的斜坡笔直滑下,滑下的距离$s(m)与时间t(s)间的关系为s = 10t + 2t^{2}$。若滑到坡底的时间为$4 s$,则此人下滑的高度为36 m。
(5)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 45^{\circ}$,$\cos C= \frac{3}{5}$,$AC = 5a$,则$\triangle ABC的面积用含a$的式子表示是$14a^{2}$。

(6)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$\angle ACB = 30^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A按逆时针方向旋转15^{\circ}后得到\triangle AB_{1}C_{1}$,$B_{1}C_{1}交AC于点D$,如果$AD = 2\sqrt{2}$,则$\triangle ABC$的周长等于$6+2\sqrt{3}$。

(7)把一张矩形纸片(矩形$ABCD$)按如图方式折叠,使顶点$B和D$重合,折痕为$EF$,若$AB = 3 cm$,$BC = 5 cm$,则$\tan\angle ADF= $$\frac{15}{8}$。

(8)如图,正方形$ABCD的边长为4$,点$M在DC$上,$M$,$N两点关于对角线AC$对称,若$DM = 1$,则$\tan\angle ADN= $$\frac{4}{3}$。

答案： 1.
(1)1
(2)$\frac{3}{5},\frac{3}{5},\frac{3}{4}$
(3)$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{4}$
(4)36 m
(5)$14a^{2}$
(6)$6+2\sqrt{3}$
(7)$\frac{15}{8}$
(8)$\frac{4}{3}$