《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

4. 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目. 跷跷板支柱 AB 的高度为 1.2 m.

(1) 若吊环高度为 2 m,支点 A 为跷跷板 PQ 的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上? 为什么?
(2) 若吊环高度为 3.6 m,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点 A 移到跷跷板 PQ 的什么位置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上?

答案：
解:
(1)狮子能将公鸡送到吊环上.如图，当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ,
∵AB=1.2m,
∴QH=2AB=2.4m＞2m.

(2)当支点A移到跷跷板PQ的三分之一处(即$PA=\frac{1}{3}PQ$)时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上.如图，
∵△PAB∽△PQH,$\frac{AB}{QH}=\frac{PA}{PQ}=\frac{1}{3}$,
∴QH=3AB=3.6(m).

5. 如图,有一块直角三角形木板,∠C = 90°,AB = 5 cm,AC = 4 cm,现要把它加工成一个正方形,请你设计一个方案,使正方形的面积最大,并求出这个最大正方形的边长.

答案：
解:BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
设正方形的边长为xcm.
方案①,如图，

正方形EFGH为设计正方形，CD⊥AB，CD分别交HG,AB于点M,D.
∵HG//AB,
∴$\frac{HG}{AB}=\frac{CM}{CD}$,
CD=$\frac{12}{5}$,CM=$\frac{12}{5}-x$,则$\frac{x}{5}=\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$,
解得x=$\frac{60}{37}$.
方案②，如图，

正方形CDEF为设计正方形.
∵DE//BC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$,
即$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$,解得x=$\frac{12}{7}$,
∵$\frac{60}{37}$＜$\frac{12}{7}$,
∴根据方案②的设计可得面积最大正方形，这时正方形的边长为$\frac{12}{7}$cm.