《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

2. 选择题。
(1)如果把一个锐角三角形$ABC三条边的长都扩大为原来的3$倍,那么$\angle A$的余切值(A)
A. 没有变化
B. 缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C. 扩大为原来的$3$倍
D. 不能确定
(2)$\cos 45^{\circ}$的值是(B)
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,若$AB = 5$,$AC = 4$,则$\sin A$的值为(A)
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{4}{3}$
(4)在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,则有(C)
A. $b = a\cdot\tan A$
B. $b = c\cdot\sin A$
C. $a = c\cdot\cos B$
D. $c = a\cdot\sin A$
(5)已知$\alpha$是锐角,$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\alpha$等于(A)
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
(6)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,如果$\cos A= \frac{4}{5}$,那么$\tan B$的值为(B)
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$
(7)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 15$,$\sin A= \frac{1}{3}$,则$BC$等于(B)
A. $45$
B. $5$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{45}$

答案：
(1)A
(2)B
(3)A
(4)C
(5)A
(6)B
(7)B

3. 计算题。
(1)$\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}-\tan 45^{\circ}$。
(2)$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$。
(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 45^{\circ}+\sin 60^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}$。

答案： $(1)$计算$\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}-\tan 45^{\circ}$
解：
根据特殊三角函数值：$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$。
将其代入原式可得：
$\begin{aligned}\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}-\tan 45^{\circ}&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1\\&=1 - 1\\&=0\end{aligned}$
$(2)$计算$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$
解：
根据特殊三角函数值：$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$。
将其代入原式可得：
$\begin{aligned}\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}&=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}\\&=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\\&=1\end{aligned}$
$(3)$计算$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 45^{\circ}+\sin 60^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}$
解：
根据特殊三角函数值：$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
将其代入原式可得：
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 45^{\circ}+\sin 60^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}\\=&\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{2}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}\\=&\frac{2 + \sqrt{6}}{4}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{0}$；$(2)\boldsymbol{1}$；$(3)\boldsymbol{\frac{2 + \sqrt{6}}{4}}$。