《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

21.(本小题满分 14 分)
如图,有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障,急需抢修,调度中心通知附近两个小岛$A$,$B$上的观测点进行观测,从$A岛测得渔船在它的南偏东37^{\circ}方向上的点C$处,$B岛在它的南偏东66^{\circ}$方向上,从$B$岛测得渔船在它的正西方向上,已知两个小岛间的距离是$72$海里,$A岛上维修船的速度为每小时20$海里,$B岛上维修船的速度为每小时28.8$海里,为及时赶到维修,调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
(参考数据：$\cos 37^{\circ} \approx 0.8$,$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$,$\sin 66^{\circ} \approx 0.9$,$\cos 66^{\circ} \approx 0.4$)

答案： 解:作$AD\perp BC$,交$BC$的延长线于点$D$. 在$Rt\triangle ADB$中,$AD=AB\cdot\cos\angle BAD=72×\cos66°\approx72×0.4=28.8(海里)$, $BD=AB\cdot\sin\angle BAD=72×\sin66°\approx72×0.9=64.8(海里)$. 在$Rt\triangle ADC$中,$AC=\frac{AD}{\cos\angle CAD}\approx\frac{28.8}{\cos37°}\approx\frac{28.8}{0.8}=36(海里)$, $CD=AC\cdot\sin\angle CAD\approx36×\sin37°\approx36×0.6=21.6(海里)$. $BC=BD-CD\approx64.8-21.6=43.2(海里)$. $A$岛上维修船需要时间 $t_A=\frac{AC}{20}\approx\frac{36}{20}=1.8(h)$. $B$岛上维修船需要时间 $t_B=\frac{BC}{28.8}\approx\frac{43.2}{28.8}=1.5(h)$. $\because t_A＞t_B$, $\therefore$调度中心应该派遣$B$岛上的维修船.