《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

5. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-ax + 2 = 0的两实数根x_{1},x_{2}满足x_{1}x_{2}= x_{1}+x_{2}-2$.
(1)求$a$的值.
(2)求出该一元二次方程的两个实数根.

答案： 解:
(1)$\because x_{1}+x_{2}=a,x_{1}x_{2}=2$,又$x_{1}x_{2}=x_{1}+x_{2}-2,\therefore a-2=2,a=4.$
(2)原方程可化为$x^{2}-4x+2=0$,$\therefore (x-2)^{2}=2$,解得$x_{1}=2+\sqrt{2},x_{2}=2-\sqrt{2}.$

6. 已知一元二次方程$8x^{2}-(2m + 1)x + m - 7 = 0$,根据下列条件,分别求出$m$的值.
(1)两根互为倒数.
(2)两根互为相反数.
(3)有一根为$0$.
(4)有一根为$1$.

答案：
(1)15
(2)$-\frac{1}{2}$
(3)7
(4)0

7. 在解方程$x^{2}+px + q = 0$时,小张看错了$p$,解得方程的根为$1与-3$；小王看错了$q$,解得方程的根为$4与-2$.这个方程的根应该是什么？

答案： $x_{1}=-1,x_{2}=3$

8. 已知关于$x的一元二次方程4x^{2}+4(m - 1)x + m^{2}= 0$.
(1)当$m$在什么范围取值时,方程有两个实数根？
(2)设方程有两个实数根$x_{1},x_{2}$,当$m$为何值时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 17$？
(3)若方程有两个实数根$x_{1},x_{2}$,那么$x_{1}和x_{2}$能否同号？若能同号,请求出相应的$m$的取值范围；若不能同号,请说明理由.

答案： 解:
(1)当$[4(m-1)]^{2}-4×4m^{2}=-32m+16\geq0$时,方程有两个实数根,解得$m\leq\frac{1}{2}.$
(2)根据根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=-\frac{4(m-1)}{4}=1-m,x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m^{2}}{4}$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=17$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=17$,$\therefore (1-m)^{2}-\frac{m^{2}}{2}=17.$解得$m_{1}=8,m_{2}=-4.$$\because$当$m\leq\frac{1}{2}$时,方程有两个实数根,$\therefore m=-4.$
(3)由
(1)知当$m\leq\frac{1}{2}$时,方程有两个实数根,由
(2)知,$x_{1}+x_{2}=1-m,x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m^{2}}{4}.$当$m=0$时,$x_{1}+x_{2}=1,x_{1}\cdot x_{2}=0$,解得$x_{1}=0,x_{2}=1.x_{1},x_{2}$不同号.当$m≠0$,且$m\leq\frac{1}{2}$时,$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m^{2}}{4}＞0$,$x_{1}$和$x_{2}$能同号.