《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

6. 如图,在△ABC 中,AB = 6 cm,AC = 12 cm,动点 M 从点 A 出发,以 1 cm/s 的速度向点 B 运动,动点 N 从点 C 出发,以 2 cm/s 的速度向点 A 运动,若两点同时运动,是否存在某一时刻 t(单位：s),使得以 A,M,N 为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,求出 t 的值；若不存在,请说明理由.

答案： 6.解:存在.设经过t s时,以A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AM=t,CN=2t,AN=12-2t(0≤t≤6).
(1)当MN//BC时,△AMN∽△ABC,则$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$,即$\frac{t}{6}=\frac{12-2t}{12}$,解得t=3.
(2)当∠AMN=∠C时,△ANM∽△ABC,则$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$,即$\frac{t}{12}=\frac{12-2t}{6}$,解得t=4.8.故所求t的值为3 s或4.8 s.

1. 填空题.
(1) 若两个相似三角形的面积比是 $4:9$,则这两个三角形的周长比为 2:3,对应边上的中线的比为 2:3.
(2) 在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$ 分别在 $AB$,$AC$ 上,$DE // BC$,若 $AD:AB = 1:2$,则 $S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}= $ 1:4.
(3) 如图,已知 $DE // BC$,$AD = 5$,$DB = 3$,$BC = 6$,$\angle B = 30^{\circ}$,则 $\angle ADE= $ 30°,$DE= $ $\frac{15}{4}$,$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}= $ $\frac{25}{64}$.

(4) 如图,$C$ 为线段 $AB$ 上的一点,$\triangle ACM$ 和 $\triangle CBN$ 都是等边三角形,若 $AC = 5$,$BC = 3$,则 $\triangle MCD$ 与 $\triangle BND$ 的面积比为 25:9.

(5) 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,若 $AD:BC = 3:7$,则 $S_{\triangle AOD}:S_{\triangle BOC}= $ 9:49,$S_{\triangle AOD}:S_{\triangle AOB}= $ 3:7.

答案： 1.
(1)2:3,2:3
(2)1:4
(3)30°,$\frac{15}{4}$,$\frac{25}{64}$
(4)25:9
(5)9:49,3:7