《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

2. 解下列方程。
(1)$x^{2}-2x = 4$。
(2)$2x^{2}-5x + 1 = 0$。
(3)$(x + 4)^{2}= 2(x + 4)$。
(4)$2(x - 3)^{2}= x^{2}-9$。
(5)$(2x - 3)^{2}= (x - 2)^{2}$。
(6)$2x^{2}-7x + 3 = 0$。

答案： $(1)$ $x^{2}-2x = 4$
解：
将方程化为标准的一元二次方程形式$ax^{2}+bx + c = 0$，即$x^{2}-2x - 4 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-2x - 4 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c=-4$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-4)=4 + 16 = 20$。
再代入求根公式：
$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$。
$(2)$ $2x^{2}-5x + 1 = 0$
解：
对于方程$2x^{2}-5x + 1 = 0$，其中$a = 2$，$b=-5$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×1=25 - 8 = 17$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$。
$(3)$ $(x + 4)^{2}=2(x + 4)$
解：
移项得$(x + 4)^{2}-2(x + 4)=0$，提取公因式$(x + 4)$得$(x + 4)(x + 4 - 2)=0$，即$(x + 4)(x + 2)=0$。
则$x + 4 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x=-4$或$x=-2$。
$(4)$ $2(x - 3)^{2}=x^{2}-9$
解：
先将右边因式分解，$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，原方程化为$2(x - 3)^{2}=(x + 3)(x - 3)$。
移项得$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$，提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)]=0$。
即$(x - 3)(2x-6 - x - 3)=0$，$(x - 3)(x - 9)=0$。
则$x - 3 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x = 3$或$x = 9$。
$(5)$ $(2x - 3)^{2}=(x - 2)^{2}$
解：
移项得$(2x - 3)^{2}-(x - 2)^{2}=0$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x - 3$，$b = x - 2$。
则$(2x - 3 + x - 2)(2x - 3-(x - 2))=0$，即$(3x - 5)(x - 1)=0$。
所以$3x - 5 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x=\frac{5}{3}$或$x = 1$。
$(6)$ $2x^{2}-7x + 3 = 0$
解：
对于方程$2x^{2}-7x + 3 = 0$，其中$a = 2$，$b=-7$，$c = 3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×2×3=49 - 24 = 25$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{7\pm5}{4}$。
即$x_{1}=\frac{7 + 5}{4}=3$，$x_{2}=\frac{7 - 5}{4}=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)x=1\pm\sqrt{5}$；$(2)x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$；$(3)x=-4$或$x=-2$；$(4)x = 3$或$x = 9$；$(5)x=\frac{5}{3}$或$x = 1$；$(6)x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

3. 当 $x$ 为何值时,代数式 $x^{2}-6x + 5$ 与代数式 $-3x^{2}+3$ 的值相等？

答案： 3.$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=1$