《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

3. 已知函数$y= -\frac{3}{x}$。
(1)画出函数的图像。
(2)利用图像求当$-3\leqslant x\leqslant -1$时,函数值$y$的取值范围。
(3)当$3\leqslant x\leqslant 6$时,函数的最大值和最小值各是多少？

答案：
解:
(1)如图所示:
　　　
(2)由图可知,当-3≤x≤-1时,1≤y≤3.
(3)由函数图像可知,当3≤x≤6时,函数的最大值是$-\frac{1}{2}$,最小值是-1.

4. 如图,一次函数$y = kx + b的图像与反比例函数y= \frac{m}{x}的图像交于A(-2,1)$,$B(1,n)$两点。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)求$\triangle AOB$的面积。

答案： 解:
(1)
∵点A(-2,1)在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像上,
∴m=(-2)×1=-2.
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$.
∵点B(1,n)也在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图像上,
∴n=-2,即点B的坐标为(1,-2).
把点A(-2,1),B(1,-2)代入一次函数y=kx+b中,得
$\begin{cases}-2k+b=1,\\k+b=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为y=-x-1.
(2)在y=-x-1中,当y=0时,得x=-1.
∴直线y=-x-1与x轴的交点为C(-1,0).
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC,
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$.

5. 已知反比例函数$y= \frac{k - 1}{x}$图像的两个分支分别位于第一、第三象限。
(1)求$k$的取值范围。
(2)若一次函数$y = 2x + k的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是4$。
①求当$x = -6$时,反比例函数$y$的值。
②当$0＜x＜\frac{1}{2}$时,求一次函数$y$的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$图像的两个分支分别位于第一、第三象限,
∴k-1＞0,
∴k＞1.
(2)①设交点坐标为(a,4),代入两个函数表达式得$\begin{cases}4=2a+k,\\4=\frac{k-1}{a},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\k=3.\end{cases}$
∴反比例函数的表达式是$y=\frac{2}{x}$.
当x=-6时,反比例函数y的值为$y=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$.
②由①可知,一次函数的表达式是y=2x+3.
由图像可知,当$0＜x＜\frac{1}{2}$时,一次函数的函数值y随x的增大而增大,
当x=0时,y=3;当$x=\frac{1}{2}$时,y=4.
∴y的取值范围是3＜y＜4.