《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

24.(本小题满分10分)
李明准备进行如下操作试验：把一根长为$40\mathrm{ cm}$的铁丝剪成两段,并分别把剪后的每段铁丝首尾相连围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$58\mathrm{ cm}^{2}$,李明应该怎样剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48\mathrm{ cm}^{2}$,你认为他的说法正确吗？请说明理由.
解:
(1)设剪成的较短的一段为$x\ cm$,则较长的一段就为$(40-x)\ cm$.由题意,得$(\frac{x}{4})^{2}+(\frac{40-x}{4})^{2}=58$,解得$x_{1}=12,x_{2}=28$.当$x=12$时,较长的一段为$40-12=28(cm)$,当$x=28$时,较长的一段为$40-28=12＜28$(舍去).故应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段.
(2)李明的说法正确.理由如下:设剪成的较短的一段为$m\ cm$,则较长的一段就为$(40-m)\ cm$.由题意,得$(\frac{m}{4})^{2}+(\frac{40-m}{4})^{2}=48$,变形为$m^{2}-40m+416=0$,$\because (-40)^{2}-4×416=-64＜0$,$\therefore$原方程无实数根,$\therefore$李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ cm^{2}$.

答案： 解:
(1)设剪成的较短的一段为$x\ cm$,则较长的一段就为$(40-x)\ cm$.由题意,得$(\frac{x}{4})^{2}+(\frac{40-x}{4})^{2}=58$,解得$x_{1}=12,x_{2}=28$.当$x=12$时,较长的一段为$40-12=28(cm)$,当$x=28$时,较长的一段为$40-28=12＜28$(舍去).故应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段.
(2)李明的说法正确.理由如下:设剪成的较短的一段为$m\ cm$,则较长的一段就为$(40-m)\ cm$.由题意,得$(\frac{m}{4})^{2}+(\frac{40-m}{4})^{2}=48$,变形为$m^{2}-40m+416=0$,$\because (-40)^{2}-4×416=-64＜0$,$\therefore$原方程无实数根,$\therefore$李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ cm^{2}$.