《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

20.(本小题满分 12 分)
如图,某山区计划修建一条通过小山的公路,经测量,从山底$B到山顶A的坡角是30^{\circ}$,斜坡$AB的长为100\mathrm{m}$。根据地形,要求修好的公路路面$BD的坡度i = 1:5$(假定$A$,$D$两点处于同一直线上)。为了减少工程量,若$AD \leq 20\mathrm{m}$,则直接开挖修建公路；若$AD \gt 20\mathrm{m}$,就要重新设计。这段公路是否需要重新设计？

答案： 解:在$Rt\triangle ABC$中,$AB=100\ m$,则 $AC=AB\cdot\sin30°=100×\frac{1}{2}=50(m)$, $BC=AB\cdot\cos30°=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}(m)$. $\because BD$的坡度$i=1:5$, $\therefore\frac{DC}{BC}=\frac{1}{5}$, $\therefore DC=\frac{1}{5}BC=10\sqrt{3}(m)$, $\therefore AD=AC-DC=50-10\sqrt{3}\approx32.68＞20$, 故需要重新设计.