《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

3. 如图,图中的小方格都是边长为 $ 1 $ 的正方形,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 是以点 $ O $ 为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上。

(1) 画出位似中心点 $ O $。
(2) 求出 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 的位似比。
(3) 以点 $ O $ 为位似中心,再画一个 $ \triangle A_1B_1C_1 $,使它与 $ \triangle ABC $ 的位似比等于 $ 1.5 $。

答案： $(1)$ 画出位似中心点 $O$
连接 $AA'$，$BB'$，$CC'$，它们的交点即为位似中心点 $O$（图略）。
$(2)$ 求$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的位似比
解：
位似比$k = \frac{AB}{A'B'}$。
由图可知$AB=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$A'B'=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。
所以$k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
即$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的位似比为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
$(3)$ 画$\triangle A_1B_1C_1$
因为位似比等于 $1.5=\frac{3}{2}$，即$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{3}{2}$。
先确定$A$，$B$，$C$ 三点关于点 $O$ 的对应点 $A_1$，$B_1$，$C_1$（根据位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比），然后连接 $A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$， 得到$\triangle A_1B_1C_1$（图略）。