《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

3. 计算题。
(1)$\cos^{2}45^{\circ}+\frac{\cos30^{\circ}}{2\sin60^{\circ}+1}-\sqrt{3}\cdot\tan30^{\circ}$。
(2)$\frac{\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}}{\tan60^{\circ}-\tan45^{\circ}}$。

答案： $(1)$
解：
根据特殊三角函数值：$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\begin{aligned}&\cos^{2}45^{\circ}+\frac{\cos30^{\circ}}{2\sin60^{\circ}+1}-\sqrt{3}\cdot\tan30^{\circ}\\=&(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{2}{4}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}+1}-1\\=&\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)}-1\\=&\frac{\sqrt{3}+1 +\sqrt{3}-2(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}+1)}\\=&\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2}{2(\sqrt{3}+1)}\\=&\frac{-1}{2(\sqrt{3}+1)}\\=&\frac{-(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\=&\frac{1 - \sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
$(2)$
解：
根据特殊三角函数值：$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$\tan45^{\circ}=1$。
$\begin{aligned}&\frac{\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}}{\tan60^{\circ}-\tan45^{\circ}}\\=&\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}-1}\\=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2(\sqrt{3}-1)}\\=&\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\=&\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
综上，$(1)$的结果为$\boldsymbol{\frac{1 - \sqrt{3}}{4}}$；$(2)$的结果为$\boldsymbol{\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$。