《2025年同步练习册河北教育出版社九年级数学上册冀教版》

4. 如图,直线 $ y = x + 1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图像交于点 $ M $,过点 $ M $ 作 $ MH \perp x $ 轴于点 $ H $,且 $ \tan \angle AHO = \frac{1}{2} $.
(1) 求 $ k $ 的值.
(2) 设 $ N (1, a) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 图像上的点,在 $ y $ 轴上是否存在点 $ P $,使得 $ PM + PN $ 最小？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
4.解:
(1)由y=x+1可得点A的坐标为(0,1),即OA=1,
∵tan∠AHO=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{2}$,
∴OH=2.
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为2.
∵点M在直线y=x+1上,
∴点M的纵坐标为3,即点M的坐标为(2,3).
∵点M在y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=2×3=6.　
(2)
∵点N(1,a)在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图像上，
∴a=6,即点N的坐标为(1,6).过点N作点N关于y轴的对称点N₁,连接MN₁,交y轴于点P(如图),此时PM + PN最小.
∵点N与点N₁关于y轴对称，
∴点N₁的坐标为(−1,6).设直线MN₁的表达式为y=k₁x+b,把点M,N₁的坐标代入y=k₁x+b,得$\begin{cases}6=-k₁ + b\\3=2k₁ + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁=-1\\b=5\end{cases}$
∴直线MN₁的表达式为y=−x+5.令x=0,得y=5,
∴点P的坐标为(0,5).　　　　　　

5. 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强 $ p (kPa) $ 是气球的体积 $ V (m^3) $ 的反比例函数,其图像如图所示.
(1) 写出这个函数的表达式.
(2) 当气球的体积为 $ 0.8 \, m^3 $ 时,气球内的气压是多少千帕？
(3) 当气球内的气压大于 $ 144 \, kPa $ 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？

答案： 5.解:
(1)p=$\frac{96}{V}$　
(2)当V=0.8m³时,p=120(kPa).　
(3)
∵当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，
∴p≤144,
∴$\frac{96}{V}$≤144,V≥$\frac{96}{144}$=$\frac{2}{3}$(m³).
∴气体的体积应不小于$\frac{2}{3}$m³.