《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

12. (16分)折线段是由两条不在同一条直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图①,线段MQ,QN组成折线段MQN.若点P在折线段MQN上,MP= PQ+QN,则称P是折线段MQN的中点.
(1)如图②,⊙O的半径为2,PA是⊙O的切线,A为切点,B是折线段POA的中点.若∠APO= 30°,则PB= ______3;
(2)如图③,在⊙O中,$\overgroup{AB}= \overgroup{AC}$,D是$\overgroup{AC}$上的一点,连接AB,AC,BC,BD,CD,过点A作AH⊥BD,垂足为H.求证:H是折线段BDC的中点;延长BD到点M,使$BH=HM$,连接AM,CM.因为$AH\perp BD$,所以$AB=AM$.所以$\angle ABM=\angle AMB$.因为$\angle ACD=\angle ABM$,所以$\angle ACD=\angle AMB$.因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,所以$AB=AC$.所以$AM=AC$.所以$\triangle AMC$是等腰三角形.所以$\angle ACM=\angle AMC$.所以$\angle ACM-\angle ACD=\angle AMC-\angle AMB$,即$\angle DCM=\angle DMC$.所以$DC=DM$.因为$HM=DM+DH$,所以$HM=DC+DH$.所以$BH=DC+DH$.所以H是折线段BDC的中点.
(3)如图④,四边形APBC是⊙O的内接四边形,连接AB,PC,AB= AC= 2√{3},AP= √{5},求PB·PC的值.7

答案：
(1)3
(2)延长BD到点M,使$BH=HM$,连接AM,CM.因为$AH\perp BD$,所以$AB=AM$.所以$\angle ABM=\angle AMB$.因为$\angle ACD=\angle ABM$,所以$\angle ACD=\angle AMB$.因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,所以$AB=AC$.所以$AM=AC$.所以$\triangle AMC$是等腰三角形.所以$\angle ACM=\angle AMC$.所以$\angle ACM-\angle ACD=\angle AMC-\angle AMB$,即$\angle DCM=\angle DMC$.所以$DC=DM$.因为$HM=DM+DH$,所以$HM=DC+DH$.所以$BH=DC+DH$.所以H是折线段BDC的中点.
(3)7

13. (18分)在平面直角坐标系中有点M(a,b)和点N(O为原点).对于点P给出如下定义:将点P向右(a≥0)或向左(a＜0)平移|a|个单位长度,再向上(b≥0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度,得到点P',点P'关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.
(1)如图,点M的坐标为(1,1),点N在线段OM的延长线上,且点P的坐标为(-2,0),点Q为点P的“对应点”.
① 在图中画出点Q,
② 连接PQ,交线段ON于点T.求证:NT= $\frac{1}{2}$OM;
(2)⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点N在线段OM上,且ON= t($\frac{1}{2}＜t＜1$).若P为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在⊙O上运动时,直接写出PQ的长的最大值与最小值的差(用含t的代数式表示).

答案：

(1)①点Q如图①所示:
②如图①,连接$PP'$.由题意,得点$P'$的坐标为$(-1,1)$.因为点P的坐标为$(-2,0)$,点M的坐标为$(1,1)$,点N的坐标为$(2,2)$,所以$PP'// OM$,$PP'=OM$.易得N为$P'Q$的中点,所以NT为$\triangle PP'Q$的中位线.所以$NT=\frac{1}{2}PP'=\frac{1}{2}OM$.

(2)4t-2