《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

24. (8分)在直角三角形中,除直角外的其他5个元素中,已知2个元素(其中至少有1个是边),就可以求出剩下的3个未知元素.对于任意三角形,我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢? 思考并解答下列问题:
(1) 观察图①~④,根据图中三角形的已知元素,可以求出其余未知元素的序号是______③④;
(2) 如图⑤,在$△ABC$中,$∠A= 53^{\circ }$,$AB= 8$,$AC= 10$,能否求出BC的长? 如果能,请求出BC的长;如果不能,请说明理由(参考数据:$sin53^{\circ }\approx \frac {4}{5}$,$cos53^{\circ }\approx \frac {3}{5}$,$tan53^{\circ }\approx \frac {4}{3}$);
解：过点$B$作$BD\perp AC$于点$D$。在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A = 53^{\circ}$，$AB = 8$。$AD=AB\cos A=8×\frac{3}{5}=\frac{24}{5}$，$BD = AB\sin A=8×\frac{4}{5}=\frac{32}{5}$。$CD=AC - AD=10-\frac{24}{5}=\frac{26}{5}$。在$Rt\triangle BCD$中，$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\frac{32}{5})^{2}+(\frac{26}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{1700}{25}}=2\sqrt{17}$。
(3) 在(2)的条件下,若以点B为圆心,r为半径的$\odot B$与AC所在的直线有唯一的公共点,则r的值为______$\frac{32}{5}$或$2\sqrt{17}$.

答案： 1. （1）
对于三角形，根据三角形全等的判定条件（$ASA$、$AAS$、$SAS$、$SSS$），已知两角及一边（$ASA$或$AAS$）、两边及其夹角（$SAS$）、三边（$SSS$）可以确定一个三角形。
①中已知一个角和一条边，不能确定三角形，不能求出其余未知元素；
②中已知三个角，不能确定三角形的大小，不能求出其余未知元素；
③中已知两角及一边（$ASA$），可以确定三角形，能求出其余未知元素；
④中已知两角及一边（$AAS$），可以确定三角形，能求出其余未知元素。
所以可以求出其余未知元素的序号是③④。
2. （2）
解：过点$B$作$BD\perp AC$于点$D$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A = 53^{\circ}$，$AB = 8$。
根据三角函数的定义：
$AD=AB\cos A$，$BD = AB\sin A$。
因为$\cos53^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，$\sin53^{\circ}\approx\frac{4}{5}$，所以$AD = 8×\frac{3}{5}=\frac{24}{5}$，$BD = 8×\frac{4}{5}=\frac{32}{5}$。
又因为$AC = 10$，所以$CD=AC - AD=10-\frac{24}{5}=\frac{50 - 24}{5}=\frac{26}{5}$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$。
$BD=\frac{32}{5}$，$CD = \frac{26}{5}$，则$BC=\sqrt{(\frac{32}{5})^{2}+(\frac{26}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{1024 + 676}{25}}=\sqrt{\frac{1700}{25}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
3. （3）
因为以点$B$为圆心，$r$为半径的$\odot B$与$AC$所在的直线有唯一的公共点，所以$r = BD$或$r = BC$。
由（2）知$BD=\frac{32}{5}$，$BC = 2\sqrt{17}$。
综上，答案依次为：（1）③④；（2）能，$BC = 2\sqrt{17}$；（3）$\frac{32}{5}$或$2\sqrt{17}$。

25. (10分)如图①~⑤均为$7×4$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,其中A,B,C,D都是格点.
(1) 如图①,连接AB,CD交于点E,则$\frac {AE}{BE}$的值为______;
(2) 仅用无刻度的直尺在给定的网格中,按下列要求作图(保留作图痕迹,不写作法).
① 如图②,在线段AB上确定一点P,使$\frac {AP}{BP}= \frac {2}{3}$;
② 如图③,将线段AB绕点B顺时针旋转$90^{\circ }$得到线段BF,在线段BF上确定一点Q,使$tan∠BAQ= \frac {4}{5}$;
③ 如图④,在AC上确定一点H,使$△AGH\backsim △ABC$;
④ 如图⑤,在BC上确定一点M,使$△ACM的面积为\frac {18}{7}$.

答案：

(1)1/2
(2)①如图①所示(答案不唯一)：②如图②所示(答案不唯一)： 　　　 ③如图③所示(答案不唯一)：④如图④所示(答案不唯一)：